Soluzioni
  • L'equazione dell'iperbole individua l'iperbole come luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, resta costante.

    Poiché tutte le definizioni e le formule dell'iperbole sono proposte nell'omonimo formulario qui mi limiterò ad una panoramica sull'equazione dell'iperbole e a mostrarti un paio di esempi di esercizi in cui è richiesto di calcolarla.

    Anche se un'iperbole nel piano cartesiano può presentarsi con gli assi di simmetria disposti in qualsiasi modo, noi ci concentriamo esclusivamente sull'equazione di un'iperbole con assi paralleli o coincidenti con gli assi cartesiani (che poi è il caso di riferimento alle scuole superiori).

    Equazione dell'iperbole con centro nell'origine

    L'equazione dell'iperbole con gli assi che coincidono con gli assi cartesiani ha la seguente forma

    \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = \pm 1\ \ \ \mbox{con }a\neq 0,\ b\neq 0

    dove a secondo membro avremo:

    +1 se interseca l'asse delle ascisse;

    -1 se interseca l'asse delle ordinate.

    Equazione dell'iperbole traslata

    L'equazione di una iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani e quindi con centro in un punto C=(x_C,y_C) è data da

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2} -\frac{(y-y_C)^2}{b^2} = \pm 1\ \ \ \mbox{con }a\neq 0,b\neq 0

    dove a secondo membro avremo:

    +1 se interseca l'asse delle ascisse

    -1 se interseca l'asse delle ordinate.

    Equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    Tutte le equazioni che abbiamo appena visto vengono anche dette equazioni dell'iperbole in forma canonica o anche equazioni dell'iperbole riferite ai propri assi. C'è un caso particolare degno di nota, quello dell'iperbole equilatera, che consente una variante nella scrittura dell'equazione.

    Un'iperbole equilatera è un caso particolare di iperbole in cui, per definizione, le misure dei semiassi sono congruenti (a=b) e che può manifestarsi in ciascuno dei vari casi appena esposti.

    Se però il centro dell'iperbole equilatera è posto nell'origine degli assi, allora è possibile esprimerla considerando i suoi asintoti come assi cartesiani. Da qui si ricava l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    xy=k\ \ \ \mbox{con }k\neq 0

    dove a seconda dei casi risulta:

    k>0 se è situata nel primo e nel terzo quadrante;

    k<0 se è situata nel secondo e nel quarto quadrante.

    Per approfondire ti rimando alla spiegazione dedicata all'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

    Come calcolare l'equazione dell'iperbole in forma canonica

    Per determinare l'equazione di un'iperbole bisogna trovare i valori dei parametri a^2 \  \mbox{e} \ b^2, ragion per cui per ci servono due condizioni tra loro indipendenti. Se l'iperbole è traslata per scriverne l'equazione ci serviranno anche le coordinate del centro.

    Tali condizioni ci verranno fornite di volta in volta dal testo del problema e quindi come puoi immaginare le possibili varianti sugli esercizi sono tantissime! Ciononostante:

    - desumendo il tipo di iperbole (traslata o con centro nell'origine / che interseca l'asse x o l'asse y);

    - applicando le opportune formule dell'iperbole;

    in qualsiasi esercizio riusciremo sempre a scrivere le equazioni che ci consentiranno di determinare i termini richiesti dall'equazione dell'iperbole.

    Esempi di calcolo dell'equazione dell'iperbole in forma canonica

    1) Ricavare l'equazione dell'iperbole avente per vertici i punti V_1=(0,-3),\ V_2=(0,3) e per asintoti le rette y=2x, \ y=-2x

    Svolgimento: poiché i vertici stanno sull'asse delle ordinate i suoi rami intersecano necessariamente tale asse.

    Poiché i vertici sono simmetrici rispetto all'origine, allora l'iperbole ha necessariamente il centro nell'origine (ossia i suoi assi di simmetria sono proprio gli assi cartesiani).

    L'equazione sarà del tipo:

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    Le coordinate dei vertici ci permettono di ricavare la misura del semiasse trasverso, che è per definizione la semidistanza tra i vertici. Poiché la parabola interseca l'asse delle y, il semiasse trasverso è dato da b

    b=3 \to b^2=9

    Gli asintoti dell'iperbole hanno equazioni del tipo:

    y=\pm \frac{b}{a} x

    Da quest'ultima osservazione, sapendo che gli asintoti dell'iperbole sono y=\pm 2x, ricaviamo immediatamente:

    \frac{b}{a}=2

    da cui, sapendo che b=3 si ha che

    a=\frac{b}{2} = \frac{3}{2} \to a^2=\frac{9}{4}

    L'equazione cercata è quindi:

    \frac{x^2}{\frac{9}{4}}-\frac{y^2}{9}=-1

    che volendo possiamo riscrivere come:

    \frac{4x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=-1

    2) Determinare l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse x, con centro in C=(1,2), fuochi in F_1=(-1,2),\ F_2=(3,2) ed eccentricità e=5

    Svolgimento: i dati forniti dal problema ci suggeriscono che dobbiamo partire dall'equazione di un'iperbole traslata che interseca l'asse x 

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    dove C=(1,2). Poiché i fuochi di un'iperbole traslata che interseca l'asse x si calcolano come

    F_1=(x_C-c,y_C)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(x_C+c,y_C)

    Ne ricaviamo le condizioni

    \begin{cases}1-c=-1\\ 1+c=3\end{cases}\ \to\ c=2

    Ricordando la formula per la semidistanza focale, abbiamo

    c=\sqrt{a^2+b^2}

    e da quella per l'eccentricità di una parabola che interseca l'asse x

    e=\frac{c}{a}

    In questo modo abbiamo il sistema

    \begin{cases}c=\sqrt{a^2+b^2}=2\\ e=\frac{c}{a}=5\ \to\ a=\frac{c}{5}\ \to\ a=\frac{2}{5}\end{cases}

    Il che ci riporta alla prima equazione

    \\ \sqrt{\frac{4}{25}+b^2}=2\\ \\ \frac{4}{25}+b^2=4\\ \\ b^2=\frac{96}{25}

    Abbiamo finito! L'equazione dell'iperbole è data da

    \frac{(x-1)^2}{\frac{4}{25}}-\frac{(y-2)^2}{\frac{96}{25}}=1

    che, in accordo con la regola per le frazioni di frazioni, possiamo scrivere nella forma

    \frac{25(x-1)^2}{4}-\frac{25(y-2)^2}{96}=1

    Se vuoi metterti alla prova con altri esempi puoi dare uno sguardo alla scheda di esercizi svolti sull'iperbole, ed eventualmente servirti del tool per studiare l'iperbole online. ;)

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
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