Soluzioni
  • L'eccentricità dell'iperbole è il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse trasverso dell'iperbole, si indica con e ed è un termine che assume valori e>1 e che esprime una misura di quanto l'iperbole è schiacciata rispetto ai propri assi.

    Per calcolare l'eccentricità di un'iperbole dobbiamo distinguere due casi e considerare:

    - iperbole con assi paralleli o coincidenti con gli assi cartesiani e che interseca l'asse x

    - iperbole con assi paralleli o coincidenti con gli assi cartesiani e che interseca l'asse y

    Ricordiamo che in entrambi i casi si indica con c la semidistanza focale, ossia la semidistanza tra i due fuochi dell'iperbole, e che si calcola come

    c=\sqrt{a^2+b^2}

    dove a,b sono le misure dei due semiassi dell'iperbole (per tutte le altre formule ti rimando al formulario sull'iperbole).

    Eccentricità iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani che interseca l'asse x

    In tal caso, detto C=(x_C,y_C) il centro dell'iperbole, l'equazione è data da

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    Il semiasse trasverso è quello orizzontale e misura a, per cui l'eccentricità dell'iperbole è data da

    e=\frac{c}{a}

    L'eccentricità in generale può assumere solamente valori maggiori di 1

    e>1

    Per valori di eccentricità che tendono a 1 (caso limite) l'iperbole si schiaccia sempre di più sull'asse delle ascisse, mentre per valori crescenti dell'eccentricità si schiaccia sempre di più sull'asse delle ordinate.

    Eccentricità iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani che interseca l'asse y

    Chiamando C=(x_C,y_C) il centro dell'iperbole avremo un'equazione della forma

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=-1

    Il semiasse trasverso è quello verticale e misura b. In accordo con la definizione l'eccentricità dell'iperbole è data da

    e=\frac{c}{b}

    Anche in questo caso (come in qualsiasi caso) l'eccentricità in generale può assumere solamente valori maggiori di 1

    e>1

    Per valori di eccentricità che tendono a 1 (caso limite) l'iperbole si schiaccia sull'asse delle ordinate, mentre per valori crescenti dell'eccentricità si schiaccia sempre di più sull'asse delle ascisse.

    Esempio di calcolo dell'eccentricità

    Calcolare l'eccentricità dell'iperbole di equazione

    \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1.

    Svolgimento: abbiamo a che fare con un'iperbole con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani e che interseca l'asse x, con

    a=2, \ b=3

    ed in cui la lunghezza del semiasse trasverso è a=2.

    Dopo aver ricavato la semidistanza focale

    c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

    possiamo concludere che

    e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}

    Per chiudere in bellezza, un paio di link utili: esercizi svolti sull'iperbole - tool per studiare l'iperbole online.

    Per approfondire il discorso puoi anche studiare o ripassare l'eccentricità dell'ellisse e notare le differenze. ;)

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
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