Soluzioni
  • Per capire come calcolare i vertici di un'iperbole equilatera conviene ripartire dalla definizione di iperbole equilatera: si tratta di un'iperbole in cui le misure dei semiassi sono congruenti, e dunque a=b.

    Sappiamo che un'iperbole equilatera si può esprimere con due diversi tipi di equazioni:

    - equazione in forma canonica, o riferita ai propri assi;

    - equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

    A seconda del tipo di equazione dell'iperbole equilatera di cui si dispone si deve ricorrere a diverse formule per calcolarne i vertici.

    Vertici dell'iperbole equilatera in forma canonica / riferita ai propri assi

    In questa eventualità possiamo avere un'equazione del tipo

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\ \ \ \equiv\ \ \ x^2-y^2=a^2

    nel caso in cui l'iperbole equilatera in forma canonica abbia il centro nell'origine e intersechi l'asse x. Le formule per i vertici dell'iperbole equilatera in tale eventualità sono date da

    V_1=(-a,0)\ \ \ ;\ \ \ v_2=(a,0)

    Se invece l'iperbole equilatera ha il centro nell'origine e interseca l'asse y

    \frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\ \ \ \equiv\ \ \ x^2-y^2=-b^2

    allora le coordinate dei vertici si calcolano come

    V_1=(0,-b)\ \ \ ;\ \ \ v_2=(0,b)

    In sintesi, per un'iperbole equilatera in forma canonica basta applicare le usuali formule dell'iperbole in forma canonica tenendo conto della condizione a=b.

    Vertici dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    Nel caso dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti la struttura dell'equazione cambia radicalmente, perché viene costruita in modo che gli asintoti dell'iperbole coincidano con gli assi cartesiani.

    xy=k

    Qui i vertici non cadono più sugli assi cartesiani come nel caso canonico, perché gli assi dell'ìiperbole finiscono per coincidere con le bisettrici dei quattro quadranti. In particolare:

    - se k>0 i vertici dell'iperbole equilatera appartengono alla bisettrice del primo-terzo quadrante;

    V_1=(-\sqrt{k},-\sqrt{k})\ \ \ ;\ \ \ V_2=(\sqrt{k},\sqrt{k})

    - se k<0 i vertici dell'iperbole equilatera appartengono alla bisettrice del secondo-quarto quadrante;

    V_1=(-\sqrt{(-k)},\sqrt{(-k)})\ \ \ ;\ \ \ V_2=(\sqrt{(-k)},-\sqrt{(-k)})

    Esempi sui vertici dell'iperbole equilatera 

    1) Proponiamoci di calcolare i vertici dell'iperbole di equazione xy=-3.

    Svolgimento: siamo nel caso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e situata nel secondo-quarto quadrante, con k=-3<0

    \\ V_1=(-\sqrt{(-k)},\sqrt{(-k)})=(-\sqrt{3},\sqrt{3})\\ \\ V_2=(\sqrt{(-k)},-\sqrt{(-k)})=(\sqrt{3}, \ -\sqrt{3})

    2) Considerando invece l'iperbole equilatera definita dall'equazione x^2-y^2=5.

    Svolgimento: ricadiamo nel caso di un'iperbole equilatera in forma canonica, con centro nell'origine e che interseca l'asse delle ascisse.

    Poiché a^2=5 otteniamo

    \\ V_1=(-a,0)=(-\sqrt{5},0)\\ \\ V_2=(a,0)=(\sqrt{5},0)

    Per chiudere in bellezza ti lascio il link per la scheda di esercizi svolti sull'iperbole equilatera.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
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