Soluzioni
  • Il semiasse trasverso dell'iperbole è il segmento che congiunge il centro dell'iperbole con uno dei suoi vertici, o equivalentemente metà del segmento che congiunge i due vertici.

    Se si considera un'iperbole con gli assi paralleli o coincidenti con gli assi cartesiani, il semiasse trasverso compare direttamente nell'equazione dell'iperbole; nel caso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti esiste invece una semplice formula che permette di calcolarne la lunghezza.

    Vediamo nel dettaglio le formule per il semiasse trasverso, ricordando che tutte le altre formule vengono elencate nel nostro formulario sull'iperbole.

    Semiasse trasverso di un'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse x

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    Il semiasse trasverso coincide con il semiasse orizzontale e misura a.

    Semiasse trasverso di un'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse y

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    Il semiasse trasverso coincide con il semiasse verticale e misura b.

    Semiasse trasverso di un'iperbole traslata che interseca l'asse x

    Se l'iperbole ha centro nel punto C=(x_C,y_C) e interseca l'asse x, essa ha equazione della forma

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    Il semiasse trasverso è il semiasse orizzontale e misura a.

    Semiasse trasverso di un'iperbole traslata che interseca l'asse y

    Se l'iperbole ha centro nel punto C=(x_C,y_C) e interseca l'asse y, essa ha equazione della forma

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=-1

    Il semiasse trasverso è il semiasse verticale e misura b.

    Semiasse trasverso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    Nel caso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti l'equazione in forma generale è

    xy=k

    e la lunghezza del semiasse trasverso è data è la metà della distanza tra i vertici dell'iperbole equilatera, in accordo con la definizione:

    \sqrt{2|k|}

    dove il valore assoluto è necessario perché il termine k può essere positivo o negativo.

    Esempio di calcolo del semiasse trasverso

    1) Determinare la lunghezza del semiasse trasverso dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e descritta dall'equazione xy=-2.

    Svolgimento: basta applicare la relativa formula e otteniamo

    \sqrt{2|-2|}=\sqrt{4}=2

    2) Calcolare la lunghezza del semiasse trasverso dell'iperbole x^2-y^2=8.

    Svolgimento: l'iperbole proposta ha il centro nell'origine ed interseca l'asse x. Usando la regola per le frazioni di frazioni possiamo riscriverne l'equazione come

    \frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1

    e dunque il semiasse trasverso è il semiasse orizzontale, la cui misura è a

    a=\sqrt{a^2}=\sqrt{8}

    dove la radice quadrata di 8 si può anche esprimere come 2\sqrt{2}.

    Concludo con un paio di link che potrebbero interessarti: esercizi svolti sull'iperbole - tool per studiare l'iperbole online.

    Risposta di Omega
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