Soluzioni
  • L'equazione della circonferenza può presentarsi in due forme: la prima è detta equazione della circonferenza con centro e raggio, la seconda equazione canonica della circonferenza.

    1) Il primo modo per scrivere l'equazione di una circonferenza richiede di conoscere le coordinate del centro della circonferenza C=(x_C,y_C) e la misura del raggio della circonferenza r

    Tali dati permettono di scrivere immediatamente l'equazione della circonferenza nella forma

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    2) A partire dall'equazione noti il centro e il raggio è possibile giungere ad una forma equivalente, detta equazione canonica della circonferenza. Per farlo è sufficiente sviluppare i calcoli con la regola del quadrato del binomio e portare tutto a sinistra dell'uguale.

    In questo modo otteniamo un'equazione del tipo

    x^2+y^2+ax+by+c=0

    con a,b,c coefficienti numerici.

    Le relazioni e le formule per calcolare la misura del raggio e le coordinate del centro dall'equazione 2), ed il legame tra la 1) e la 2), sono spiegate nel dettaglio nel formulario sulla circonferenza e quindi qui mi limiterò a riportarle:

    a=-2x_C,\ \ \ b=-2y_C,\ \ \ c=x_C^2+y_C^2-r^2

    Per calcolare centro e raggio dalla 2) basta usare le formule

    C=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)\ \ ;\ \ r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}

    Dimostrazione per l'equazione della circonferenza

    Per dimostrare che l'equazione della circonferenza ha proprio la forma 1) dobbiamo partire dalla definizione: la circonferenza è l'insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. Il raggio è la misura della distanza di un qualsiasi suo punto dal centro. 

    Indichiamo con C=(x_C,y_C) le coordinate del centro e con r il raggio.

    Consideriamo un generico punto P=(x,y) e usiamo la formula per la distanza tra due punti

    \overline{CP}=\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}

    Per individuare tutti e soli i punti P equidistanti da C e con distanza r, ci basta considerare l'equazione

    \overline{CP}=r

    ossia

    \sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}=r

    Non ci resta che elevare entrambi i membri al quadrato

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    Il gioco è fatto: un punto P=(x,y) appartiene al luogo geometrico descritto dalla precedente equazione - la circonferenza - se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione.

    Nota che tutto torna tra la definizione di circonferenza data in precedenza e il significato analitico dell'equazione. :)

    Equazione della circonferenza negli esercizi

    Naturalmente il metodo più comodo per la ricerca dell'equazione della circonferenza, negli esercizi, dipende dai dati di cui disponiamo e non è possibile dire a priori quale sia la strada più conveniente da seguire. Se vuoi farti un'idea delle varie possibilità e dei rispettivi metodi più convenienti, puoi dare un'occhiata alla scheda di esercizi risolti sulla circonferenza.

    A titolo di esempio, potrebbe capitarci di dover scrivere l'equazione della circonferenza passante per tre punti.

    Esempio sull'equazione della circonferenza

    Il più semplice esercizio possibile prevede di calcolare l'equazione della circonferenza noti il centro ed il raggio.

    Esempio: determinare l'equazione della circonferenza con centro C=(2,2) e avente raggio r=1.

    In questo caso possiamo procedere direttamente con l'equazione nella forma generale

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    e quindi con una semplice sostituzione

    (x-2)^2+(y-2)^2=1

    Facendo i conti troviamo

    x^2-4x+4+y^2-4y+4-1=0

    da cui

    x^2+y^2-4x-4y+7=0

    Fine. Se vogliamo verificare l'esattezza dei risultati possiamo usare le formule per centro e raggio dall'equazione 2)

    \\ x_C=-\frac{a}{2}=-\frac{-4}{2}=2\\ \\ \\ y_C=-\frac{b}{2}=-\frac{-4}{2}=2\\ \\ \\ r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}=\sqrt{\frac{(-4)^2}{4}+\frac{(-4)^2}{4}-7}=\sqrt{4+4-7}=1

    ed e tutto!

    In caso di necessità ricordati che qui su YM hai a disposizione un tool per studiare la circonferenza online. ;)

    Risposta di Omega
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