Soluzioni
  • Le potenze con esponente fratto vengono definite come radici della base della potenza, dove in particolare il numeratore dell'esponente è l'esponente della base ed il denominatore dell'esponente è l'indice di radice.

    Per definizione una potenza con esponente frazionario è una potenza in cui l'esponente è un numero razionale, ossia un numero dato da una frazione in cui numeratore e denominatore sono numeri interi relativi

    x^{\frac{m}{n}}\ \ \ \mbox{con }m,n\in\mathbb{Z}

    Come abbiamo scritto sopra, questa scrittura equivale ad una radice in cui:

    - il radicando è una potenza avente come base x e come esponente il numeratore m. Il radicando è quindi x^m.

    - l'indice della radice è il denominatore dell'esponente n.

    In simboli

    x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}

    Dato che si tratta di una definizione, di cui tra l'altro parliamo nella lezione sulle potenze, non è questione di capire perché ma è piuttosto questione di capire come funziona la definizione.

    Un paio di esempi sulle potenze aventi una frazione come esponente:

    \\ 7^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{7^2}\\ \\ 5^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{5^1}=\sqrt[6]{5}

    Da notare che la definizione consente di avere una potenza con esponente fratto e negativo. In un caso del genere ci basta unire la definizione precedente alla regola per le potenze con esponente negativo, e quindi:

    - sbarazzarci del segno meno passando al reciproco della base;

    - applicare successivamente la regola per le potenze con esponente frazionario.

    Vediamo due esempi:

    12^{-\frac{5}{4}}=\left(\frac{1}{12}\right)^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{\left(\frac{1}{12}\right)^5}=\sqrt[4]{\frac{1}{12^5}}

    dove nell'ultimo passaggio ho usato la proprietà delle potenze relativa alla potenza di un rapporto.

    \left(\frac{9}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}

    dove nell'ultimo passaggio ho estratto la radice quadrata del radicando.

    Per tutti i dettagli e per tanti altri esempi ti rimando alla lettura della lezione sui radicali - click!

    Risposta di Omega
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