Soluzioni
  • La derivata dell'arcoseno è

    y=\arcsin{(x)}\ \to\ y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    e, a titolo di cronaca, rientra nella famiglia delle cosiddette derivate fondamentali; in altri termini è una derivata talmente ricorrente che può essere data per buona. Non serve nemmeno impararla a memoria poiché viene usata così tante volte negli esercizi da ricordarne la formula automaticamente.

    Dimostrazione - come ricavare la derivata dell'arcoseno arcsin(x)

    Per ricavare la formula che esprime la derivata dell'arcoseno dobbiamo ricorrere al teorema per la derivata della funzione inversa, ma prima di cominciare ci servono alcune osservazioni preliminari.

    L'arcoseno è la funzione inversa della funzione seno sull'intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

    y=\arcsin{(x)}\ \leftrightarrow\ x=\sin{(y)} a patto che y\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

    La restrizione va imposta sull'insieme di definizione del seno per fare in modo che essa sia una funzione invertibile.

    Ora siamo pronti per calcolare la derivata di arcsen(x)

    \frac{d}{dx}\ \arcsin{(x)}

    prendiamo un valore x_0\in [-1,+1], cosicché y_0=\arcsin(x_0) sarà un valore in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. In questo modo sappiamo che ha senso scrivere x_0=\sin(y_0).

    Applichiamo il teorema per la derivata della funzione inversa

    \frac{d}{dx}\ \arcsin{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\ \sin{(y)}|_{y=y_0}}

    La scrittura ...|_{...} indica solo che la derivata va valutata nel punto indicato nel pedice.

    La derivata del seno la conosciamo benone:

    \frac{1}{\frac{d}{dy}\ \sin{(y)}|_{y=y_0}}=\frac{1}{\cos{(y_0)}}

    Ora, sapendo che x_0=\sin{(y_0)} e volendo esprimere la derivata dell'arcoseno in termini di x_0, dobbiamo solo esprimere il termine \cos{(y_0)} in termini del seno.

    Facciamo riferimento all'identità fondamentale della Trigonometria

    \sin^2{(y_0)}+\cos^2{(y_0)}=1

    da cui

    \cos{(y_0)}=\pm\sqrt{1-\sin^2{(y_0)}}

    Quale segno scegliamo? Dato che y_{0}\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], il coseno di y_0 deve avere segno positivo

    \cos{(y_0)}=+\sqrt{1-\sin^2{(y_0)}}

    di conseguenza, essendo x_0=\sin{(y_0)}

    \cos{(y_0)}=+\sqrt{1-x_0^2}

    Sostituendo il tutto nella relazione della derivata

    \frac{d}{dx}\ \arcsin{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}}

    Dalla generalità dei punti (x_0,y_0) segue la formula per la derivata dell'arcoseno di x

    \frac{d}{dx}\ \arcsin{(x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    Per questa e molte altre proprietà dell'arcoseno ti rimando alla lettura della lezione del link. ;)

    Risposta di Omega
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