Soluzioni
  • Per poter calcolare la derivata della funzione arcotangente abbiamo bisogno del teorema di derivazione della funzione inversa. Naturalmente nel calcolarla darò per nota la derivata della tangente, che è

    \frac{d}{dz}\ \tan{(z)}=\frac{1}{\cos^2{(z)}}

    (vedi la tabella delle derivate notevoli). Consideriamo la funzione

    y=\arctan{(x)}

    essa è definita su tutto \mathbb{R} ed è a valori in y\in \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right); è invertibile e ammette come funzione inversa la funzione tangente, ristretta però all'intervallo y\in \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right) e a valori in \mathbb{R}

    y=\arctan{(x)} \leftrightarrow x=\tan{(y)}

    a patto che y\in \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right).

    Applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa. Possiamo farlo perché con la precedente restrizione tutte le ipotesi sono soddisfatte: prendiamo x_0 e y_0 tali che y_0=\arctan{(x_0)} e x_0=\tan{(y_0)}

    \frac{d}{dx}\ \arctan{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\ \tan{(y)}|_{y=y_0}}=

    dove l'indice di | nella notazione 

    \frac{d}{d...}...|_{...}

    indica il punto di valutazione della derivata prima. Sostituiamo la derivata nota

    \frac{d}{dx}\ \arctan{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2{(y_0)}}}=\cos^2{(y_0)}

    Ora dobbiamo solo esprimere il coseno al quadrato in termini della tangente. Da una nota identità trigonometrica, vale

    \cos^2{(y_0)}=\frac{1}{1+\tan^2{(y_0)}}

    quindi

    \frac{d}{dx}\ \arctan{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{1+\tan^2{(y_0)}}

    e dato che x_0=\tan{(y_0)} per ipotesi, concludiamo che

    \frac{d}{dx}\ \arctan{(x)}|_{x=x_0}=\frac{1}{1+x_0^2}

    Dalla generalità della coppia (x_0,y_0) possiamo passare a scrivere la formula per la derivata dell'arcotangente

    \frac{d}{dx}\ \arctan{(x)}=\frac{1}{1+x^2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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