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Soluzioni
  • Problema risolto

    Ciao, in realtà parlare di derivata di una frazione di funzioni è improprio. È corretto invece parlare di derivata di un rapporto di funzioni o ancora di derivata di un quoziente di funzioni.

    In pratica parliamo della regola di derivazione per calcolare la derivata di un quoziente del tipo

    \frac{f(x)}{g(x)}

    la formula che ci serve è la seguente

    \frac{d}{dx}\ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    Se vogliamo ricavarla dobbiamo dare per buona la regola per la derivata di un prodotto e il teorema di derivazione di funzioni composte: riscriviamo la frazione come un prodotto

    \frac{d}{dx}\ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{d}{dx}\ \left[f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\right]

    e scriviamo il reciproco di g(x) come potenza negativa

    =\frac{d}{dx}\ \left[f(x)\cdot [g(x)}]^{-1}\right]=\bullet

    ora applichiamo la formula per la derivata del prodotto:

    \frac{d}{dx}\ [a(x)b(x)]=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)

    quindi

    \bullet=\frac{d}{dx}[f(x)]\cdot [g(x)]^{-1}+f(x)\cdot \frac{d}{dx}[[g(x)]^{-1}]=\bullet

    Riscriviamo la derivata di f(x) come f'(x) e per calcolare la derivata di [g(x)]^{-1} applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta. Prima deriviamo la potenza "alla -1", poi moltiplichiamo tale derivata per la derivata della base, cioè g'(x)

    \frac{d}{dx}[[g(x)]^{-1}]=(-1)[g(x)]^{-1-1}\cdot g'(x)=-[g(x)]^{-2}\cdot g'(x)

    torniamo a \bullet

    \bullet=f'(x)\cdot [g(x)]^{-1}-f(x)\cdot [g(x)]^{-2}\cdot g'(x)=

    e riscriviamo le potenze come frazioni

    =\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}=

    denominatore comune e abbiamo finito!

    =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    Per gli ESEMPI e per l'elenco completo delle regole di derivazione - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega

 

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