Soluzioni
  • Ciao, parto dalla fine e ti dico subito qual è la derivata dell'esponenziale in base a di x:

    \frac{d}{dx}\ a^x=a^x\ln{(a)}

    dove \ln{(a)} indica il logaritmo naturale di a. Se scegliamo come base il numero di Nepero a=e, otteniamo dalla precedente la derivata dell'esponenziale in base e

    \frac{d}{dx}\ e^x=e^x

    perché naturalmente \ln{(e)}=1.

    Vediamo come calcolarla: il punto di partenza è dato dalla definizione di derivata prima come limite del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo l'espressione della funzione che ci interessa, cioè f(x)=a^x

    \frac{d}{dx}\ a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}

    e raccogliamo un termine a^x a numeratore

    =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}[a^{h}-1]}{h}=\bullet

    Ora dobbiamo solo ricordarci del limite notevole dell'esponenziale

    \lim_{z\to 0}\frac{a^z-1}{z}=\ln{(a)}

    e dato che nel nostro limite \bullet h tende a zero, siamo a cavallo!

    \bullet=a^x\ln{(a)}

    Fine ;)

    \frac{d}{dx}\ a^x=a^x\ln{(a)}

    Potrebbe interessarti: tabella delle derivate notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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