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Soluzioni
  • Problema risolto

    Ciao, ci sono due modi per calcolare la derivata del valore assoluto di x. Intanto parto dal risultato:

    \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}

    Primo metodo

    Il primo metodo si basa sulla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale

    f(x)=|x|

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    cioè

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\bullet

    Supponiamo x\neq 0. In tal caso raccogliamo un |x| a numeratore

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left|\frac{x+h}{x}\right|-1\right)}{h}=

    dividiamo termine a termine all'interno del valore assoluto

    =\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left|1+\frac{h}{x}\right|-1\right)}{h}=\bullet

    e dato che x\neq 0, e dato che h\to 0, il termine h/x tende a zero al tendere di h\to 0. L'osservazione che segue è fondamentale: osserva che

    1+\frac{h}{x}>0

    quindi

    \left|1+\frac{h}{x}\right|=1+\frac{h}{x}

    e possiamo scrivere

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)-1\right)}{h}=

    ora possiamo quasi applicare un famosissimo limite notevole

    (lascio a te intuire quale ;) ). Per poterlo fare ci basta moltiplicare e dividere per x a denominatore

    =\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)-1\right)}{\frac{h}{x}\cdot x}=

    per cui

    =\lim_{h\to 0}|x|\cdot \frac{1}{x}=\frac{|x|}{x}

    In definitiva

    \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}

    e per estensione (grazie al teorema di derivazione della funzione composta)

    \frac{d}{dx}|g(x)|=\frac{|g(x)|}{g(x)}\cdot g'(x).

    E se fosse x=0 ? Riprendiamo

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=

    otteniamo

    =\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}

    Il precedente limite non esiste perché a seconda che h\to 0^+ o h\to 0^- otteniamo due valori diversi

    \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{+h}{h}=+1

    \lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1

    e si conclude che \frac{d}{dx}|x| non esiste in x=0. Non a caso la funzione valore assoluto non è derivabile in x=0 e presenta in tale punto un punto angoloso. :)

    Secondo metodo

    Il secondo modo più sensato per calcolare la derivata del valore assoluto di x, cioè di y=|x|, prevede di usare una definizione alternativa. Sappiamo che il valore assoluto di x è definito come

    |x|=\begin{cases}+x\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -x\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Se consideriamo la funzione segno y=\mbox{sgn}(x) definita come

    \mbox{sgn}(x)=\begin{cases}+1\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -1\mbox{ se }x<0\end{cases}

    essa ci permette di riscrivere il valore assoluto di x in una forma più comoda e più gestibile nel contesto della derivazione:

    |x|=x\cdot \mbox{sgn}(x)

    La figata è che avendo scritto il modulo di x in questa forma possiamo procedere nel calcolo della derivata con la regola di derivazione del prodotto

    \frac{d}{dx}\ f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

    Calcoliamoci a parte le derivate: la derivata di x è 1

    f(x)=x\ \Rightarow\ f'(x)=1

    mentre la derivata del segno è 0, perché si tratta di una funzione costante a tratti (e dunque si tratta di derivare una costante)

    g(x)=\mbox{sgn}(x)\ \Rightarow\ g'(x)=0

    quindi

    \frac{d}{dx}\ x\cdot \mbox{sgn}(x)=1\cdot \mbox{sgn}(x)+x\cdot 0=\mbox{sgn}(x)

    Abbiamo scoperto che la derivata del modulo vale

    \frac{d}{dx}\ |x|=\mbox{sgn}(x)

    Se vogliamo possiamo riscrivere la derivata del valore assoluto in una forma equivalente. Ricordando che |x|=x\cdot \mbox{sgn}(x), possiamo usare tale uguaglianza per ricavare un'espressione per il segno di x

    \mbox{sgn}(x)=\frac{|x|}{x}

    che vale a patto che sia x\neq 0; nel caso x=0 abbiamo \mbox{sgn}(x)=0. Abbiamo ricavato la forma comunemente usata per esprimere la derivata del valore assoluto

    \frac{d}{dx}\ |x|=\frac{|x|}{x}

    Ti saluto lasciandoti un link che spero apprezzerai: tavola delle derivate notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega

 

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