Soluzioni
  • Ci sono due modi per calcolare la derivata del valore assoluto di x (detto anche modulo di x). Intanto parto dal risultato:

    \\ \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}\\ \\ \\ \frac{d}{dx}|g(x)|=\frac{|g(x)|}{g(x)}\cdot g'(x)

     

    Derivata del valore assoluto con il rapporto incrementale

    Il primo metodo si basa sulla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale

    \\ f(x)=|x|\\ \\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    cioè

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=

    Supponiamo che sia x\neq 0. In tal caso raccogliamo un |x| a numeratore

    =\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left|\frac{x+h}{x}\right|-1\right)}{h}=

    dividiamo termine a termine all'interno del valore assoluto

    =\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left|1+\frac{h}{x}\right|-1\right)}{h}=\bullet

    e dato che x\neq 0, e dato che h\to 0, il termine \frac{h}{x} tende a zero al tendere di h\to 0.

    L'osservazione che segue è fondamentale: osserva che per h\to 0 vale sicuramente la disuguaglianza

    1+\frac{h}{x}>0

    quindi per definizione di valore assoluto

    \left|1+\frac{h}{x}\right|=1+\frac{h}{x}

    e possiamo scrivere

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)-1\right)}{h}=

    Ora possiamo quasi applicare un famosissimo limite notevole (lascio a te intuire quale ;) ). Per poterlo fare ci basta moltiplicare e dividere per x a denominatore

    =\lim_{h\to 0}\frac{|x|\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)-1\right)}{\frac{h}{x}\cdot x}=

    e apparecchiare il limite notevole portando fuori il rapporto che dipende solamente da x, dal momento che stiamo calcolando il limite per h\to 0

    =\frac{|x|}{x}\lim_{h\to 0}\frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)-1}{\frac{h}{x}}=

    per cui

    =\frac{|x|}{x}\cdot 1=\frac{|x|}{x}

    In definitiva

    \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}

    e per estensione (grazie al teorema di derivazione della funzione composta)

    \frac{d}{dx}|g(x)|=\frac{|g(x)|}{g(x)}\cdot g'(x)

     

    E se fosse x=0 ? Riprendiamo

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=

    otteniamo

    =\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}

    Il precedente limite non esiste perché a seconda che h\to 0^+\mbox{ oppure }h\to 0^- otteniamo due valori diversi

    \\ \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{+h}{h}=+1\\ \\ \lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1

    e si conclude che \frac{d}{dx}|x| non esiste in x=0.

    Non a caso la funzione valore assoluto non è derivabile in x=0 e presenta in tale punto un punto angoloso. :)

     

    Derivata del valore assoluto con la funzione segno

    Il secondo modo per calcolare la derivata del valore assoluto di x, ben più immediato del precedente, prevede di usare una definizione alternativa. Sappiamo che il valore assoluto di x è definito come

    |x|=\begin{cases}+x\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -x\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Se consideriamo la funzione segno y=\mbox{sgn}(x) definita come

    \mbox{sgn}(x)=\begin{cases}+1\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -1\mbox{ se }x<0\end{cases}

    essa ci permette di riscrivere il valore assoluto di x in una forma più comoda e più gestibile nel contesto della derivazione:

    |x|=x\cdot \mbox{sgn}(x)

    Il bello è che avendo scritto il modulo di x in questa forma possiamo procedere nel calcolo della derivata con la regola di derivazione del prodotto

    \frac{d}{dx}\ f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

    Calcoliamoci a parte le derivate: la derivata di x è 1

    f(x)=x\ \to\ f'(x)=1

    mentre la derivata del segno è 0, perché si tratta di una funzione costante a tratti (e dunque si tratta di derivare una costante)

    g(x)=\mbox{sgn}(x)\ \to\ g'(x)=0

    quindi

    \frac{d}{dx}\ x\cdot \mbox{sgn}(x)=1\cdot \mbox{sgn}(x)+x\cdot 0=\mbox{sgn}(x)

    Abbiamo scoperto che la derivata del modulo vale

    \frac{d}{dx}\ |x|=\mbox{sgn}(x)

    Se vogliamo possiamo riscrivere la derivata del valore assoluto in una forma equivalente. Ricordando che |x|=x\cdot \mbox{sgn}(x), possiamo usare tale uguaglianza per ricavare un'espressione per il segno di x

    \mbox{sgn}(x)=\frac{|x|}{x}

    che vale a patto che sia x\neq 0; nel caso x=0 abbiamo \mbox{sgn}(x)=0. Abbiamo ricavato la forma comunemente usata per esprimere la derivata del valore assoluto

    \frac{d}{dx}\ |x|=\frac{|x|}{x}

    Ti saluto lasciandoti un link che spero apprezzerai: tavola delle derivate notevoli - click!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
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