Soluzioni
  • Ciao, se puoi dare per buone la derivata del seno e la derivata del coseno (è del tutto lecito) non è assolutamente necessario far ricorso alla definizione di derivata. Si può procedere piuttosto con le regole di derivazione standard.

    Cominciamo: vogliamo calcolare la derivata della cotangente

    \frac{d}{dx}\ \cot{(x)}

    La prima cosa da fare è riscrivere la cotangente mediante la sua definizione trigonometrica con seno e coseno

    \cot{(x)}=\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}

    dunque per calcolare la derivata di ctg(x) (notazione equivalente a cot(x)) applichiamo la regola di derivazione del rapporto di funzioni

    \frac{d}{dx}\ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    nel nostro caso f(x)=\cos{(x)} e g(x)=\sin{(x)}. Scriviamo a parte le rispettive derivate, per comodità

    f(x)=\cos{(x)}\ \Rightarrow\ f'(x)=-\sin{(x)}

    g(x)=\sin{(x)}\ \Rightarrow\ g'(x)=\cos{(x)}

    e sostituiamole nella formula di derivazione

    \frac{d}{dx}\ \cot{(x)}=\frac{d}{dx}\ \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{[-\sin{(x)}]\sin{(x)}-\cos{}(x)\cos{(x)}}{[\sin{(x)}]^2}=

    ossia

    =\frac{-\sin^2{(x)}-\cos^2{(x)}}{\sin^2{(x)}}=\bullet

    Non ci resta che applicare l'identità fondamentale della Trigonometria

    \sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1

    da cui

    -\sin^2{(x)}-\cos^2{(x)}=-1

    e in definitiva

    \bullet=\frac{-1}{\sin^2{(x)}}.

    Abbiamo così dimostrato che

    \frac{d}{dx}\ \cot{(x)}=-\frac{1}{\sin^2{(x)}}

    Ti consiglio di dare uno sguardo a questa pagina: derivate fondamentali - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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