Soluzioni
  • Ciao, la derivata della potenza f(x)=x^n (con n\in\mathbb{N} un numero intero) è una derivata fondamentale che vale

    \frac{d}{dx}\ x^n=nx^{n-1}

    La precedente formula si estende al caso degli esponenti reali: la derivata di una potenza del tipo f(x)=x^s (con s\in\mathbb{R}) è

    \frac{d}{dx}\ x^s=sx^{s-1}

    Per calcolarla si ricorre alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Scriviamolo:

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    e sostituiamo le valutazioni della funzione f(x)=x^s

    \frac{d}{dx}\ [x^s]=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^s-(x)^s}{h}

    [Qui x indica un qualsiasi valore della variabile. Supponiamo che sia x\neq 0, il caso x=0 può essere trattato a parte a seconda della specifica potenza di x che ci troviamo davanti. Includerlo nel caso generale complicherebbe inutilmente le cose.]

    Nulla ci vieta di raccogliere un termine x^s a numeratore

    \frac{d}{dx}\ [x^s]=\lim_{h\to 0}\frac{x^s\left[\frac{(x+h)^s}{x^s}-1\right]}{h}

    Nel primo addendo all'interno della coppia di parentesi quadre portiamo x^s all'interno della coppia di parentesi tonde (tanto sono entrambi elevati a s)

    \frac{d}{dx}\ [x^s]=\lim_{h\to 0}\frac{x^s\left[\left(\frac{x+h}{x}\right)^s-1\right]}{h}

    dividiamo termine a termine

    \frac{d}{dx}\ [x^s]=\lim_{h\to 0}\frac{x^s\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-1\right]}{h}

    dato che x\neq 0, e dato che h\to 0, vediamo subito che h/x\to 0 al tendere di h\to 0. Possiamo così applicare un opportuno limite notevole

    \lim_{z\to 0}\frac{(1+z)^c-1}{z}=c

    dove per noi z=\frac{h}{x}. Per poterlo applicare dobbiamo solo moltiplicare e dividere il denominatore del limite per x

    \frac{d}{dx}\ [x^s]=\lim_{h\to 0}\frac{x^s\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-1\right]}{x\cdot \frac{h}{x}}

    e ci siamo! Se sostituiamo

    \frac{\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^s-1\right]}{\frac{h}{x}}

    con s ricaviamo proprio sx^{s-1}. Abbiamo finito:

    \frac{d}{dx}\ x^s=sx^{s-1}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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