Soluzioni
  • Buondì, la derivata di sen(x) è una delle derivate notevoli (click) e vale

    \frac{d}{dx}\ \sin{(x)}=\cos{(x)}

    per calcolarla si procede al solito con la definizione di derivata prima di una funzione, mediante il limite del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Procediamo: sostituiamo le valutazioni di f(x)=\sin{(x)} nella formula della derivata

    \frac{d}{dx}\ \sin{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\bullet

    ora ci serve una delle formule di prostaferesi, in particolare quella per la differenza di due seni

    \sin{(p)}-\sin{(q)}=2\cos{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\sin{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

    dove per noi p=x+h e q=x. Ricaviamo

    \sin{(x+h)}-\sin{(x)}=2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}

    Torniamo a \bullet:

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}=

    e ricordiamoci del limite notevole del seno

    \lim_{z\to 0}\frac{\sin{(z)}}{z}=1

    per noi dovrà essere z=h/2. Per poterlo applicare moltiplichiamo e dividiamo il denominatore di \bullet per 2

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{2\cdot \frac{h}{2}}=

    in questo modo nel passaggio al limite

    \lim_{h\to 0}\frac{\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{\frac{h}{2}}=1

    ci rimane:

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}}{2}=\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)}=\cos{(x)}

    (Attenzione! Il limite è in h per cui x va trattato come un parametro...) e abbiamo finito, la derivata del seno è proprio

    \frac{d}{dx}\ \sin{(x)}=\cos{(x)}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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