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Soluzioni
  • Problema risolto

    Ciao, la derivata del coseno è data dal seno cambiato di segno

    \frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=-\sin{(x)}

    e per calcolarla si procede in modo del tutto simile rispetto al procedimento per la derivata del seno. Già che ci sono riporto il link alla tabella delle derivate fondamentali, che torna sempre utile. ;)

    Procediamo con la definizione di derivata prima e consideriamo il limite del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    e riscriviamola prendendo f(x)=\cos{(x)}

    \frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\bullet

    Per procedere nei calcoli e scrivere il tutto in una forma più gestibile la cosa migliore da fare è applicare la formula di prostaferesi per la differenza di coseni:

    \cos{(p)}-\cos{(q)}=-2\sin{\left(\frac{p+q}{2}\right)}\sin{\left(\frac{p-q}{2}\right)}

    dove per noi p=x+h e q=x, dunque

    \cos{(x+h)}-\cos{(x)}=-2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}

    torniamo a \bullet e sostituiamo quanto ottenuto

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}

    Ora possiamo applicare il limite notevole del seno, non prima di aver ritoccato opportunamente il limite. Essendo

    \lim_{z\to 0}\frac{\sin{(z)}}{z}=1

    possiamo considerare z=h/2, ma per poterlo fare dobbiamo dividere e moltiplicare per 2 nel denominatore di \bullet

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{2\cdot \frac{h}{2}}

    in questo modo

    \lim_{h\to 0}\frac{\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{\frac{h}{2}}=1

    cosicché

    \bullet=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin{\left(\frac{2x+h}{2}\right)}}{2}

    e passando al limite per h\to 0

    \bullet=-\sin{\left(\frac{2x}{2}\right)}=-\sin{(x)}.

    Abbiamo così ricavato la funzione derivata di cos(x):

    \frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=-\sin{(x)}

    Namasté!

    Risposta di Omega

 

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