Soluzioni
  • Ciao, per calcolare la derivata del logaritmo bisogna ricorrere alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Consideriamo la funzione f(x)=log(x) e calcoliamo

    \frac{d}{dx}\ f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    quindi sostituendo le valutazioni del logaritmo nel limite

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\log{(x+h)}-\log{(x)}}{h}

    A numeratore possiamo usare una ben nota proprietà dei logaritmi: la differenza tra due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\log{\left(\frac{x+h}{x}\right)}}{h}

    dividiamo termine a termine nell'argomento

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\log{\left(1+\frac{h}{x}\right)}}{h}

    Dato che x deve essere positivo - altrimenti \log{(x)} non ha senso - al tendere di h\to 0 il termine h/x tende a zero.

    Possiamo applicare il limite notevole del logaritmo

    \lim_{z\to 0}\log{\left(1+z\right)}=z

    per cui il limite è equivalente a

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h}{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h\cdot x}

    Abbiamo finito: semplifichiamo h e abbiamo trovato la derivata del logaritmo (naturale)

    \frac{d}{dx}\ \log{(x)}=\frac{1}{x}

    Per la derivata del logaritmo in base a di b vale un ragionamento del tutto analogo: ti invito a dare un'occhiata alla tabella delle derivate fondamentali.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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