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Soluzioni
  • Ciao remaxer arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Problema risolto

    Abbiamo l'equazione goniometrica

    \sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)+3=0

    Associamo ad essa la relazione fondamentale della trigonometria:

    \begin{cases}\sqrt{3}\sin(x)+3\cos(3)+3=0\\ sin^2(x)+\cos^2(x)=1\end{cases}

    Poniamo:

    X=\cos(x)

    e

    Y=\sin(x)

    L'equazione trigonometrica diventa:

    \sqrt{3}Y+3X+3=0

    mentre la relazione fondamentale diventa:

    X^2+Y^2=1

    Il sistema si riscrive quindi come:

    \begin{cases}\sqrt{3}Y+3X+3=0\\ X^2+Y^2=1\end{cases}

    Che nel piano X, Y rappresenta l'intersezione tra la retta di equazione:

    \sqrt{3}Y+3X+3=0

    e la circonferenza di equazione 

    X^2+Y^2=1

    Risolviamo il sistema per sostituzione. Dalla prima equazione segue che:

    X= -\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1

    Sostituiamo nella seconda equazione:

    \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1\right)^2+Y^2=1

    Facendo i conti otterremo:

    \frac{2}{3}Y(2Y+\sqrt{3})=0

    Da cui otteniamo due soluzioni:

    Y=0 a cui associamo la soluzione X= -1

    e

    Y= -\frac{\sqrt{3}}{2} a cui associamo la soluzione X=-\frac{1}{2}

    Ricordando che X= \cos(x) e Y=\sin(x) dobbiamo considerare due sistemi:

    \begin{cases}\sin(x)= 0\\ \cos(x)=-1\end{cases}

    che ha per soluzioni:

    x= \pi +2k\pi\quad k\in \mathbb{Z}

    Il secondo invece:

    \begin{cases}\sin(x)=- \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos(x)=-\frac{1}{2}\end{cases}

    che ha per soluzioni:

    x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\quad k\in\mathbb{Z}

    Purtroppo non riesco a uppare il grafico :(

    Risposta di Ifrit

 

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