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Soluzioni
  • Ciao Cimino arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Problema risolto

    Il punto critico di una funzione di due variabili è un punto del dominio per cui il gradiente della funzione si annulla.

    Essi possono essere.

    • Punto di massimo 

    • Punto di minimo

    • Punto di Flesso.

    Per determinarli la prima cosa da fare è calcolare le derivate parziali prime della funzione stessa. Cominciamo:

    f(x, y)= 2xy -2x^3+3x-9y-3y^2+6

    Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x:

    f_x(x,y)=-6x^2+2y+3

    mentre la derivata parziale rispetto ad y è

    f_{y}(x,y)=2x-6y-9

    Imponiamo il sistema:

    \begin{cases}-6x^2+2y+3=0\\ 2x-6y-9=0\end{cases}

    Procediamo per sostituzione, dalla seconda equazione isoliamo y al primo membro:

    y=\frac{2x-9}{6}

    Sostituiamo nella prima equazione:

    -6x^2+2\left(\frac{2x-9}{6}+3=0\right) 

    Sommando i termini simili otterremo l'equazione:

    \frac{2x-18x^2}{3}=0\iff 2x-18x^2=0 

    Otterremo due soluzioni:

    x_1=0 a cui viene associato y_1= -\frac{9}{6}= -\frac{3}{2}

    e

    x_2= \frac{1}{9} a cui viene associato y_2= -\frac{79}{54}

    I punti critici della funzione sono quindi due:

    P_1\left(0, -\frac{3}{2}\right)

    P_2\left(\frac{1}{9},-\frac{79}{54}\right)

    A questo punto dobbiamo determinare la natura dei punti critici. Un modo (che purtroppo non funziona sempre) semplice è costruire l'Hessiana, la matrice che ha per elementi le derivate parziali del secondo ordine:

    H_{f}(x, y)= \begin{pmatrix}f_{x,x}& f_{x, y}\\ f_{y, x}& f_{y,y}\end{pmatrix}

    e calcolarne il determinante:

    \det(H_f(x, y))= f_{x,x}f_{y,y}-f^2_{x, y}

    Vediamo come procedere:

    f_{x x}(x, y)=-12x

    f_{y y}(x, y)=-6

    f_{x,y}(x, y)= 2

    La matrice hessiana diventa:

    H_{f}(x, y)= \begin{pmatrix}-12x& 2\\ 2& -6\end{pmatrix}

    Il determinante invece:

    det(H_{f}(x, y))= 72x-4

    Determiniamo la natura dei punti P_1\,\,\, e\,\,\,   P_2

    P_1\left(0, -\frac{3}{2}\right)

    f_{x x}(P_1)= 0

    mentre

    \det(H_{f}\left(0, -\frac{3}{2}\right))= -4<0

    Ora il determinante è minore di zero questo vuol dire che il punto considerato è di sella. :)

    • P_2\left(\frac{1}{9},-\frac{79}{54}\right)

    f_{x x}(P_2)=-\frac{4}{3}<0

    mentre

    \det(H_{f}(P_2))= 72\left(\frac{1}{9}\right)-4= 8-4>0

    Il determinante è maggiore di zero mentre la derivata parziale del secondo ordine rispetto ad x è minore di zero, questo ci permette di concludere che il punto P_2 è di massimo relativo :)

    C'è uno schema da seguire, lo trovi in questa guida: massimi e minimi in due variabili.

    Risposta di Ifrit

 

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