Soluzioni
  • Per risolvere l'esercizio sfrutteremo le informazioni di cui disponiamo per impostare un opportuno sistema di equazioni, in modo da determinare i coefficienti che individuano la parabola richiesta.

    In questo contesto è fondamentale tenere a mente le formule della parabola, per cui eventualmente ti rimando al formulario del link per un ripasso. ;) 

    Per quanto riguarda la condizione del punto di passaggio P=(1,-12): imponiamo il passaggio per il punto (1;-12) nell'equazione della parabola, per cui le coordinate cartesiane del punto devono costituire una soluzione dell'equazione

    x=1,\ y=-12\ \to\ -12=a+b+c

    Ora ci servono altre due condizioni: quelle fornite dalle coordinate del vertice della parabola.

    Nel nostro caso la parabola è ad asse di simmetria verticale, quindi le coordinate del vertice si calcolano come

    \\ (x_V,y_V)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\\ \\ \\ \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac

    quindi dobbiamo imporre le condizioni

    \\ -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\\ \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{49}{4}

    Abbiamo quindi un sistema di tre equazioni in tre incognite:

    \begin{cases}a+b+c=-12\\ -\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{49}{4}\end{cases}

    Risolvendo questo sistema si trovano i valori dei parametri che individuano la parabola cercata.

    Vediamo di risolverlo: riscriviamo la prima equazione come

    c=-12-a-b

    e la seconda come

    b=-3a

    e procediamo con il sempreverde metodo di sostituzione che abbiamo imparato nel contesto dei sistemi lineari, e che continua a valere anche nel caso di sistemi non lineari. Sostituiamo questa espressione nella precedente equazione

    c=-12-a+3a=-12+2a

    dopodiché sostituiamo entrambe le espressioni nella seconda equazione del sistema. Prima però la riscriviamo come

    b^2-4ac=49a

    Sostituiamo e ci ritroviamo di fronte ad un'equazione di secondo grado

    9a^2-4a(-12+2a)=49a

    Un paio di conti

    a^2-a=0

    Effettuiamo un raccoglimento totale

    a(a-1)=0

    e applichiamo la legge di annullamento del prodotto. Otteniamo due soluzioni

    a=0\ \ \ ;\ \ \ a=1

    La prima è da scartare (basta dare un rapido sguardo alle formule per le coordinate del vertice: il denominatore non può mai annullarsi).

    Sostituisci questo valore di a nelle altre due condizioni

    \\ c=-12+2a=-10\\ \\ b=-3a=-3

    e ci sei, arrivi direttamente all'equazione della parabola:

    y=x^2-3x-10

    Se vuoi verificare l'esattezza del risultato, per questo e per altri esercizi, ti suggerisco di uare il tool per risolvere la parabola online. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!

    Risposta di Mindy
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