Soluzioni
  • L'esercizio chiede di determinare il comportamento dell'integrale improprio

    \int_{0}^{1}\frac{\ln(x)}{1-x}dx 

    ma prima di procedere, analizziamo un momento la funzione integranda:

    f(x)=\frac{\ln(x)}{1-x}

    Essa è una funzione continua nell'intervallo limitato (0,1), mentre presenta due singolarità in x=0\mbox{ e in }x=1.

    Per x\to 0^{+} si ha infatti che:

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(x)}{1-x}=-\infty

    da cui deduciamo che f(x) è una funzione illimitata nell'intervallo e che x=0 è un punto di discontinuità di seconda specie.

    D'altra parte consideriamo il limite per x\to 1

    \lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{1-x}=

    Al fine di ricondurci al limite notevole del logaritmo sommiamo e sottraiamo 1 nel suo argomento

    \\ =\lim_{x\to 1}\frac{\ln(1+x-1)}{1-x}= \\ \\ \\ =-\lim_{x\to 1}\frac{\ln(1+x-1)}{1-x}=-1

    questo dimostra che f(x) è prolungabile con continuità nel punto x=1 che non rappresenta un punto problematico, giacché f(x) è limitata in almeno un intorno di 1 e ivi localmente integrabile: per approfondire classi di funzioni integrabili.

    Nell'intorno di 0, possiamo invece effettuare la seguente minorazione sul valore assoluto della funzione integranda:

    \left|\frac{\ln(x)}{1-x}\right|\le \frac{1}{\sqrt{x}}\mbox{ definitivamente}

    Come si può dimostrare? Semplicemente osservando che quando x\to 0 si ha che

    \sqrt{x}\left|\frac{\ln(x)}{1-x}\right|\to 0

    dunque il prodotto

    \sqrt{x}\left|\frac{\ln(x)}{1-x}\right|

    è definitivamente minore o al più uguale a 1, ossia esiste un intorno di 0, che chiamiamo I_{0} in cui:

    \sqrt{x}\left|\frac{\ln(x)}{1-x}\right|\le 1\implies \left|\frac{\ln(x)}{1-x}\right|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\quad\forall x\in I_{0}-\{0\}

    Poiché

    \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

    è un integrale improprio notevole convergente e, facendo intervenire il teorema del confronto per gli integrali impropri di seconda specie, possiamo concludere che converge assolutamente anche l'integrale dato dal testo dell'esercizio.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
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