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Soluzioni
  • Ciao I.Chirulli, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Problema risolto

    L'integrale improprio proposto converge. Smile

    Studiamo il comportamento dell'integranda:

    1) In un intorno destro di x=0

    2) In un intorno di +\infty

    Nel primo caso, l'integranda è asintoticamente equivalente a

    \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\sim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x}}

    e quest'ultima funzione ha integrale improprio convergente in un intorno destro di x=0. Ci sono due modi per vederlo (equivalenti):

    - calcolare una primitiva a mano;

    - dare uno sguardo alla tabella degli integrali impropri notevoli

    Nell'intorno di +\infty, invece, scrivendo l'integranda come

    \frac{1}{e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}}

    ed essa determina un integrale improprio convergente, per vederlo si può (ad esempio) fare riferimento al teorema del confronto per integrali impropri di prima specie e osservare che vale definitivamente la maggiorazione

    e^{\sqrt{x}}>x^\frac{3}{2}

    quindi

    \frac{1}{e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}}<\frac{1}{x^2}

    dove l'ultima funzione determina un integrale improprio convergente nell'intorno di \infty.

    Abbiamo finito!

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • ho eseguito inizialmente il tuo procedimento, poi però ho notato che nel primo intorno l'integranda è infinita per x che tende a 0 e ne ho calcolato l'ordine, che risulta essere 1/2 minore di 1 per cui convergente, fino a qui tutto bene....nel secondo intorno effettuando lo stesso ragionamento l'integranda è infinitesima per x che tende ad infinito di ordine sempre 1/2 minore di uno per cui divergente in questo caso, credo di sbagliare il calcolo dell'ordine, potresti darmi una mano?

    Risposta di i.chirulli
  • Occhio: l'errore riguarda il fatto che l'integranda sia infinitesima (questo è ok) di ordine 1/2 per x\to +\infty. Non è così: l'esponenziale genera un infinito di ordine ben superiore all'ordine 1/2, quindi avremo un infinitesimo di ordine superiore all'ordine 1/2. E' per questo motivo che nell'intorno di +\infty ho considerato il teorema del confronto e non il teorema del confronto asintotico.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • chiaro grazie, ho confuso infiniti ed infinitesimi...

    Risposta di i.chirulli

 

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