Soluzioni
  • L'integrale improprio

    \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx

    converge: vediamo perché. Analizziamo un momento l'integranda

    f(x)=\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

    Essa è una funzione continua sull'intervallo (0, +\infty), e presenta un punto singolare di seconda specie (o se preferisci punto di discontinuità di seconda specie) per x=0.

    Infatti

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

    L'integrale presenta due problematiche: una al finito per x=0 e l'altra all'infinito.

    Potremmo quindi pensare di spezzare l'integrale di partenza come somma di integrali usando una delle proprietà degli integrali, oppure possiamo studiare l'integrabilità impropria locale della funzione integranda nell'intorno destro di x=0 e nell'intorno di +\infty.

    Studiamo l'integrabilità nell'intorno destro di x=0 mediante il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie.

    L'obiettivo consiste nel determinare una stima asintotica associata alla funzione integranda.

    Per x\to 0 risulta che e^{-\sqrt{x}}\to 1, mentre il denominatore è asintoticamente equivalente a se stessa, pertanto l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica

    \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\sim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

    Quest'ultima funzione ha integrale improprio convergente in un intorno destro di x=0. Ci sono due modi per vederlo:

    - calcolare una primitiva di \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} e calcolare l'integrale improprio con la definizione;

    - dare uno sguardo alla tabella degli integrali impropri notevoli.

    Nell'intorno di +\infty, invece, scriviamo l'integranda come

    f(x)=\frac{1}{e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}}

    Ad essa possiamo associare un integrale improprio convergente. Per vederlo si può fare riferimento al teorema del confronto per integrali impropri di prima specie e osservare che vale definitivamente la maggiorazione

    e^{\sqrt{x}}>x^{\frac{3}{2}}\mbox{ definitivamente.}

    Da dove scaturisce questa disuguaglianza? Deriva dal limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{2}}}=+\infty

    in cui il risultato si ottiene con un semplice confronto tra infiniti. Pertanto ne deduciamo che

    \frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{3}{2}}}>1\mbox{ definitivamente}

    (intuitivamente, affinché il rapporto al primo membro "arrivi" a +\infty, prima o poi dovrà essere obbligatoriamente maggiore di 1)

    Moltiplicando membro a membro la disuguaglianza precedente per x^{\frac{3}{2}} otteniamo

    e^{\sqrt{x}}>x^{\frac{3}{2}}\mbox{ definitivamente}

    Passiamo ai reciproci membro a membro ricordandoci di cambiare verso

    \frac{1}{e^{\sqrt{x}}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\mbox{ definitivamente}

    e infine moltiplichiamo membro a membro per \frac{1}{\sqrt{x}} così da avere

    \frac{1}{\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{x^2}\mbox{ definitivamente.}

    Osserviamo che al secondo membro abbiamo una funzione impropriamente integrabile nell'intorno di +\infty, conseguentemente anche \frac{1}{e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}} è impropriamente integrabile in un intorno di +\infty, ce lo assicura infatti il teorema del confronto per gli integrali impropri di prima specie.

    Ora possiamo trarre le dovute conclusioni.

    La funzione integranda è impropriamente integrabile in un intorno di x=0 e in un intorno di +\infty, di conseguenza è integrabile in tutto l'intervallo di integrazione (0,+\infty), e ciò significa che l'integrale improprio di partenza converge.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi