Soluzioni
  • Ok, la sostituzione proposta funziona:

    u=\frac{y}{x}

    v= \frac{x^2+y^2}{y}

    Il dominio si trasforma di conseguenza:

    D=\{(u, v): 0\le u\le \frac{1}{2}, 0\le v\le 2\}

    A questo punto scriviamo le coordinate x, y in funzione di u e v:

    u=\frac{y}{x}\implies y=u x

    Sostituiamo nell'altra equazione:

    v= \frac{x^2+ u^2 x^2}{u x}= \frac{x^2(1+ u^2)}{x}= x(1+u^2)

    Da cui otteniamo che:

    x(u,v)= \frac{v}{1+u^2}

    y(u, v)= \frac{u v}{1+ u^2}

     

    Ora:

    x_u(u, v)=\frac{v-u^2 v}{(1+ u^2)^2}

    x_v(u, v)=\frac{u}{1+ u^2}

    y_u(u, v)=\frac{2uv}{(1+u^2)^2}

    y_v(u, v)=\frac{u}{1+ u^2}

     

    Di conseguenza lo Jacobiano associato alla sostituzione è:

    |J(u, v)|= \frac{u^2 v}{(1+ u^2)^2}

    Sostituendo nell'integrale otteniamo:

    \int_0^2 \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sin\left(\frac{u^2 v}{1+ u^2}\right)}{u}\cdot \frac{u^2 v}{(1+u^2)^2}dudv=

     

    Risolvendo l'integrale interno ottieni:

    \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sin\left(\frac{u^2 v}{1+ u^2}\right)}{u}\cdot \frac{u^2 v}{(1+u^2)^2}du=

    \sin^2(v/10)

    Integra nuovamente:

    \int_0^2 \sin^2(v/10)dv=1-\frac{5}{2}\sin\frac{2}{5}

     

    L'integrale è finito :D

    Risposta di Ifrit
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