Soluzioni
  • Il calcolo dell'integrale doppio

    \\ \iint_{D}\frac{x\sin(y)}{y}dx dy \\ \\ \mbox{con }D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le y\le\frac{x}{2}, \  x^2+(y-1)^2\le 1\right\}

    si effettua agevolmente con la sostituzione

    \\ u=\frac{y}{x} \\ \\ v=\frac{x^2+y^2}{y}

    È necessaria solo un po' di attenzione nei calcoli e nulla più.

    Prima di buttarci a capofitto nei conti è sempre buona cosa analizzare dal punto di vista geometrico il dominio di integrazione.

    La condizione

    0\le y\le \frac{x}{2}

    individua i punti del primo quadrante che giacciono tra la retta di equazione y=0 e la retta di equazione

    r: \ y=\frac{x}{2}

    La condizione

    x^2+(y-1)^2\le 1

    individua l'insieme dei punti del piano interni alla circonferenza di equazione

    \Gamma: \ x^2+(y-1)^2=1

    di centro C(0,1) e raggio R=1.

    L'insieme D definisce conseguentemente i punti del primo quadrante che giacciono tra la circonferenza \Gamma e la retta r.

    Potremmo pensare che le coordinate polari traslate siano sufficienti a risolvere l'esercizio, ma sono una strada da non tenere in considerazione perché mediante questa sostituzione la funzione integranda

    f(x,y)=\frac{x\sin(y)}{y}

    diventa tremendamente complicata da gestire. Utilizziamo invece la sostituzione proposta dal testo, grazie alla quale il dominio di integrazione si trasforma in

    D'=\left\{(u, v): 0\le u\le\frac{1}{2}, \ 0\le v\le 2\right\}

    Quando si effettua una sostituzione negli integrali doppi è necessario calcolare la matrice Jacobiana J relativa al cambiamento di coordinate.

    Per determinarla dobbiamo esprimere le variabili x\mbox{ e }y in funzione di u \mbox{ e }v, impostando il sistema

    \begin{cases}u=\frac{x}{y}\\ v=\frac{x^2+y^2}{y}\end{cases}

    Dalla prima equazione segue immediatamente che y= u x e sostituendo nella seconda otteniamo

    v=\frac{x^2+u^2x^2}{ux}= \frac{x^2 (1+u^2)}{ux}=\frac{x (1+u^2)}{u}

    da cui

    \\ x(u, v)=\frac{u v}{(1+u^2)} \\ \\ y(u, v)=\frac{u^2 v}{(1+u^2)}

    Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad u\mbox{ e }v di x(u, v)\mbox{ e }y(u,v)

    \\ x_{u}(u,v)=\frac{v-u^2 v}{(1+u^2)^2} \\ \\ \\ x_{v}(u, v)=\frac{u}{1+u^2} \\ \\ \\ y_{u}(u, v)=\frac{2u v}{(1+u^2)^2} \\ \\ \\ y_{v}(u, v)=\frac{u}{1+u^2}

    e costruiamo finalmente la matrice

    J=\begin{pmatrix}x_{u}(u,v)& x_{v}(u, v)\\ y_{u}(u,v)& y_{v}(u,v)\end{pmatrix}

    il cui determinante preso in modulo è

    |\mbox{det}(J)|=\frac{u^2 v}{(1+u^2)^2}

    Abbiamo quasi tutti gli strumenti necessari per risolvere l'integrale doppio, ci manca solo una cosa: esprimere l'integranda f(x,y) in funzione di u\mbox{ e }v

    f(x(u,v),y(u,v))=\frac{\sin\left(\frac{u^2 v}{1+u^2}\right)}{u}= \tilde{f}(u,v)

    L'integrale di partenza diventa quindi

    \\ \iint_{D'}\tilde{f}(u,v)\cdot|\mbox{det}(J)|du dv= \\ \\ \\ = \int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\sin\left(\frac{u^2 v}{1+u^2}\right)}{u}\cdot\frac{u^2 v}{(1+u^2)^2}du\right]dv= \\ \\ \\ = \int_{0}^{2}\sin^2\left(\frac{v}{10}\right)dv=1-\frac{5}{2}\sin\left(\frac{2}{5}\right)

    È fatta! A proposito: se vuoi consultare gli esercizi sugli integrali doppi, ti rimando alla scheda del link.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
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