Soluzioni
  • Ciao Federico :) vogliamo calcolare l'integrale doppio

    \iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^2}dx dy

    sul dominio di integrazione

    D=\{(x, y): x^2+y^2\ge 2,\ x\ge 0,\ y\ge 0\}

    Nota che sarebbe utile passare in coordinate polari:

    x= r\cos(t)

    y=r\sin(t)

    Grazie a questa trasformazione, cambia anche il dominio:

    La condizione

    x^2+y^2\ge 2

    diviene

    r^2(\cos^2(t)+\sin^2(t))= r^2\ge 2

    Da qui segue che:

    r\ge \sqrt{2}

    Nelle altre due condizioni teniamo presente che r deve essere positivo

    \begin{cases}x\ge 0\implies r\cos(t)\geq 0\implies \cos(t)\ge 0\implies -\frac{\pi}{2}\le t\le \frac{\pi}{2}\\ y\ge 0\implies r\sin(t)\geq 0\implies \sin(t)\ge 0\implies 0\le t\le \pi\end{cases}

    ossia

    0\leq t\leq \frac{\pi}{2}

    Quindi, il dominio trasformato è

    D=\left\{(r, t): r\ge \sqrt{2},\ 0\le t\le \frac{\pi}{2}\right\}

    Inoltre la funzione integranda è:

    f(r, t)= \frac{1}{(r^2(\cos^2(t)+\sin^2(t)))^2}= \frac{1}{r^4}

    Lo Jacobiano associato alla sostituzione effettuata è r.

    L'integrale diventa:

    \int_{\sqrt{2}}^{\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{r^4}\cdot r dt dr=

    =\int_{\sqrt{2}}^{\infty} \frac{1}{r^3}dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}dt

    Risolvendo gli integrali il risultato è \frac{\pi}{8}.

    Se ci sono problemi sono qui. :D

    Risposta di Ifrit
  • Perfetto come sempre, grazie mille!

    Risposta di federico
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