Soluzioni
  • Ciao Federico arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Dobbiamo calcolare l'integrale:

    \int_{0}^1 \int_{\sqrt{x}}^1 \sin(y^3) dy dx

     

    Osserviamo che l'integrale 

    \int_{\sqrt{x}}^1 \sin(y^3)dy

    però non è esprimibile sotto forma di composizione di funzioni elementari

    Dobbiamo perciò cambiare approccio. Il trucco sta nell'esprimere in modo diverso l'insieme di partenza. Tramite un semplice disegno e per delle considerazioni geometriche semplici possiamo esprimere D nel modo seguente:

    D=\{(x, y): 0\le y\le 1, 0\le x\le y^2\}

    quindi l'integrale diventa:

    \int_{0}^1 \int_0^{y^2}\sin(y^3)  dx dy\quad\heartsuit

     

    Concentriamoci sull'integrale interno:

    \int_{0}^{y^2}\sin(y^3)dx= \sin(y^3)\int_{0}^{y^2}dx= y^2\sin(y^3)

    L'integrale \heartsuit si riduce a:

    \int_0^{1} y^2\sin(y^3)dy=\left[-\frac{1}{3}\cos(y^3)\right]_0^1=\frac{1}{3}-\frac{\cos(1)}{3}

    Risposta di Ifrit
  • ma quando dici tramite considerazioni geometriche intendi aver rappresentato D come dominio x-semplice?

    Risposta di federico
  • Il dominio di partenza è x-semplice, io l'ho trasformato in y-semplice, perché come puoi osservare tu stesso, non è possibile risolvere l'integrale in maniera elementare :|

    Risposta di Ifrit
  • quindi in generale se è y semplice non devo bloccare gli estremi in x e integrare in y e poi fare l'integrale in x?? se puoi spiegarmelo in due righe..non vorrei che fino ad ora ho sbagliato nel risolvere gli integrali

    Risposta di federico
  • No, non ti sei impapinato tu, l'ho fatto io :(, sorry. 

    Ricominciamo: il dominio di partenza è y-semplice, procedendo in modo canonico, mi sono accorto che l'integrale risultante non si esprime come combinazione di funzioni elementari. In tal caso è utile esprimere l'insieme in modo che sia x-semplice e integrare in modo canonico. 

    In soldoni:

    Se D è x semplice integri prima rispetto ad x e poi quello che ti esce lo integri rispetto ad y

    Se D è y semplice intregri prima rispetto ad y e poi rispetto ad x.

    Note: La nomenclatura x-semplice, y-semplice non è utilizzata da tutti, io per esempio non la uso, preferisco utilizzare i nomi "dominio perpendicolare rispetto all'asse x" e similmente "dominio perpendicolare rispetto all'asse  y".

    Ecco perché mi sono confuso :P

    Risposta di Ifrit
  • a ok io lo chiamo cosi perchè la prof ci ha detto cosi...mentre per trovare gli estremi di integrazione come faccio in questo caso?? questo mi rimane difficile capire

    Risposta di federico
  • Ecco, qui devi ragionare geometricamente, non so spiegarti il metodo purtroppo, ti posso dire come faccio io.

    Disegno l'insieme nel piano, avendo costruito un sistema di assi cartesiani OXY, dopodiché giro il foglio in modo da avere l'asse Y al posto dell'asse X. Vedo un quale intervallo varia y e come si comporta x in funzione di y. So che non è una spiegazione molto matematica me ne rendo conto Embarassed, ma è l'unico modo per fartelo comprendere :|

    Risposta di Ifrit
  • a ok..te l'ho chiesto perchè come in questo caso non saprei come disegnare a mano la funzione  sin(y^{3}) e pensavo ci fosse un metodo semplice per trovare gli estremi di integrazione grazie ancora..

    Risposta di federico
  • No, aspetta, non devi disegnare la funzione integranda! Devi disegnare il dominio D!! :P

    Risposta di Ifrit
  • è vero che corbelleria che ho detto scusami!!

    Risposta di federico
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi