Logo


             | 

 

ly

 

Soluzioni
  • Ciao I.Chirulli, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • I punti angolosi e le cuspidi sono per definizione punti di non derivabilità di una funzione (parliamo di tutto nella lezione del link). La condizione di derivabilità in un punto prevede che i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale nel punto esistano finiti e uguali: se non sussiste tale condizione, ci troviamo di fronte ad un punto di non derivabilità.

    Si tratterà quindi di calcolare i due limiti sinistro e destro e controllarne i valori.

    Il fatto è: come facciamo a capire in quali punti bisogna effettuare la verifica?

    Un buon modo di procedere consiste nel calcolare la derivata prima f'(x) della funzione f(x) e prendere:

    1) i punti che appartengono a Dom(f) e che non appartengono a Dom(f')

    2) I punti in cui la derivata prima f' non è continua .

    Individuati tali punti, sarà sufficiente calcolare i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale. In particolare:

    - se sono finiti ma diversi, abbiamo a che fare con un punto angoloso per la funzione f;

    - se sono infiniti di segno opposto, abbiamo una cuspide;

    - se sono infiniti con lo stesso segno, abbiamo un punto di flesso a tangente verticale.

    Prima di passare agli esempi: fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si certo, però solo una precisazione nel caso in cui uno dei limiti dovesse tendere ad infinito avremmo un punto cuspidale giusto?, e se ci fossero altre combinazioni tipo: meno infinito a sinistra e valore negaivo a destra?

    Risposta di i.chirulli
  • Tutte le altre combinazioni rientrano sotto la dicitura generale di "punto di non derivabilità", anche perché dipende tutto dalle definizioni che vengono date per punti di flesso, cuspidi, punti angolosi.

    Se ci fai caso, un punto in cui il rapporto incrementale è illimitato in un intorno (ad es. sinistro) di un punto e finito nell'altro (destro), non abbiamo a che fare con un punto angoloso, perché non è vero che entrambi i limiti sono finiti, e non abbiamo nemmeno a che fare con una cuspide/punto di flesso a tangente verticale, perché non è vero che entrambi i limiti sono infiniti.

    E' più che altro una questione di definizioni: finché hai presente qual'è il significato analitico e geometrico delle configurazioni precedenti, è solamente una questione di nomenclatura...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok ora è chiara la teoria, possiamo passare alla pratica...

     

    Risposta di i.chirulli
  • Ok! se ad esempio ti dicessi: considera la funzione

    f(x)=\sqrt{|x-1|}

    e ti chiedessi di individuare gli eventuali punti di non derivabilità e di specificarne la natura, che cosa mi risponderesti?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • analizzando il dominio di f(x) mi rendo conto che esso risulta essere tutto R, analizzando la derivata ho dei problemi in quanto non ricordo la derivata del valore assoluto

     

    Risposta di i.chirulli
  • Qui basta applicare il teorema di derivazione della funzione composta, tenendo conto che la derivata del valore assoluto la puoi calcolare come

    |f(x)|=\frac{|f(x)|}{f(x)}f'(x)

    o anche scrivendo il modulo attraverso la funzione segno, solo che ora non vorrei buttare troppa carne sul fuoco. Casomai, se fossi interessato, trovi tutto qui: derivata del valore assoluto.

    Nel nostro caso la derivata è data da

    f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{|x-1|}}\frac{|x-1|}{x-1}\cdot (1)

    alla luce di questo, si vede che c'è un punto che crea problemi: x=1. Che mi dici?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • E' proprio quello che sono abituare a fare ossia: scrivere il modulo in funzione del segno per cui ora analizzando i limiti a sinistra e a destra di uno, punto nel quale la mia funzione non è derivabile ottengo

     

    \lim_{x\to1^-}{\frac{1}{2\sqrt{1-x}}{\frac{1-x}{x-1}}=-\infty

     

    \lim_{x\to1^+}{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}{\frac{x-1}{x-1}}=+\infty  

     

    ragion per cui il mio punto è cuspidale. L'eliminazione del valore assoluto in questo modo è corretto giusto? E poi un'ultima cosa: alla fine dei conti solo dove la mia funzione non è derivabile ci possono essere tali punti, vero?

    Risposta di i.chirulli
  • Qui è ok, però attenzione al fatto che non devi calcolare il limite delle derivate, bensì il limite dei rapporti incrementali. L'utilizzo delle derivate non è un metodo che funziona sempre.

    Dai un'occhiata qui: studio della derivabilità.

    Risposta di Omega
  • Quindi avrei dovuto calcolare

     

    \lim_{x\to1^-}{\frac{{\sqrt{1-x}}-{\sqrt{1-1}}}{x-1} 

     

    \lim_{x\to1^+}{\frac{{\sqrt{x-1}}-{\sqrt{1-1}}}{x-1}?

    Risposta di i.chirulli
  • Problema risolto

    Esattamente! Smile

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • credo che non avrei potuto ricevere spiegazione migliore; grazie mille

    Risposta di i.chirulli

 

Utile?...

 

Problemi di Matematica per...

Medie Geometria Algebra e Aritmetica
Superiori Algebra Geometria Analisi Varie
Università Analisi Algebra Lineare Algebra Altro

 

Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi