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Soluzioni
  • Problema risolto

    Ciao mama :)

    Per affrontare il problema da te proposto è indispensabile conoscere le formule sul prisma retto - click!

    Dovendo calcolare il suo volume che è dato da

    V=h \times S_{base}

    ci serve sapere la lunghezza dell'altezza h del prisma e l'area della superficie di base che è un rombo. Per ricavarle dobbiamo utilizzare i dati forniti dal problema, ossia

    S_{tot}=2S_{base}+S_{lat} = 992 \mbox{ dm}^2

    L=\frac{5}{8}D

    L+D=26 \mbox{ dm}

    dove con L abbiamo indicato il lato del rombo e con D la sua diagonale maggiore.

    Dalle ultime due relazioni possiamo ricavare la misura del lato di base e della diagonale maggiore procedendo in due modi. Vediamoli entrambi.

     

    1) Sfruttando le equazioni.

    Riscriviamoci le due relazioni che coinvolgono L \mbox{ e } D

    L=\frac{5}{8}D

    L+D=26 \mbox{ dm}

    Sostituendo la prima nella seconda

    \undebrace{\frac{5}{8}D}_{L}+D=26 \mbox{ dm}

    ricadiamo in un'equazione di primo grado

    \frac{5}{8}D+D=26 \mbox{ dm}

    Eseguendo la somma a primo membro (è una semplice somma tra frazioni) si ha

    \frac{13}{8}D=26 \ \mbox{dm}

    D=26 \times \frac{8}{13} = 16 \ \mbox{dm}

    Di conseguenza

    L=\frac{5}{8}D=\frac{5}{8}\times 16 = 10 \ \mbox{dm}

     

    2) Procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto - click!

    Disegniamo cioè un segmento che rappresenta la diagonale maggiore e dividiamolo in 8 parti uguali. Il segmento che farà le veci del lato di base sarà lungo quanto 5 di queste parti.

     

     

    Lato e diagonale di un rombo

     

     

    Osservando il disegno appena fatto possiamo concludere che

    L=(26:13)\times 5 = 10 \mbox{ dm}

    D=(26:13)\times 8 = 16 \mbox{ dm}

     

    Ad ogni modo, una volta ricavate le misure della diagonale maggiore e del lato del rombo, sfruttando il teorema di Pitagora possiamo risalire alla misura della diagonale minore

    d=2\sqrt{L^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}=2\sqrt{100-64}=2\sqrt{36}=12 \mbox{ dm}

    Possiamo ora trovare l'are del rombo - click per le formule

    S_{base}=\frac{D \times d}{2}=\frac{16 \times 12}{2} = 96 \mbox{ dm}^2

    per il volume ci manca la misura dell'altezza del prisma. Sapendo che 

    S_{tot}=2S_{base}+S_{lat} =2 S_{base} + 4Lh = 992 \mbox{ dm}^2

    Possiamo ricavare l'altezza

    4Lh=S_{tot}-2S_{base}=992 - 192 = 800 \ \mbox{dm}^2

    h=\frac{800}{4L}=\frac{800}{40}=20 \ \mbox{dm}

    e quindi il volume del prisma

    V=S_{base}\times h = 96 \times 20 = 1920 \mbox{ dm}^3

    Risposta di Omega
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