Soluzioni
  • Per darti una risposta completa vorrei spiegarti il metodo generale per determinare il circocentro di un triangolo con gli strumenti della Geometria Analitica, nel caso di un triangolo qualsiasi.

    Fatto ciò, passerei al metodo per l'esercizio specifico: sapere che il triangolo è rettangolo semplifica infatti di molto la risoluzione. ;)

    Come calcolare le coordinate del circocentro di un triangolo qualsiasi

    Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro degli assi dei lati (click per definizione, disegno e proprietà).

    È la definizione stessa a spiegarci come dobbiamo comportarci analiticamente per trovare le coordinate del circocentro: dobbiamo individuare il circocentro come punto di intersezione delle rette su cui giacciono gli assi dei lati del triangolo.

    Per individuare le rette degli assi useremo la formula della retta passante per un punto

    y-y_M=m(x-x_M)

    dove (x_M,y_M) sono le coordinate di un punto di passaggio mentre m è il coefficiente angolare della retta.

    1) Innanzitutto sappiamo che l'asse di un lato di un triangolo passa per il punto medio del lato del triangolo, quind per ciascuno dei tre lati individueremo il punto medio mediante le formule

    (x_M,y_M)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

    dove (x_1,y_1)\ ;\ (x_2,y_2) sono le coordinate dei vertici del lato;

    2) In secondo luogo sappiamo per definizione che l'asse di un lato di un triangolo è perpendicolare al lato.

    Di conseguenza sfruttiamo la condizione per le rette perpendicolari e consideriamo il reciproco dell'opposto del coefficiente angolare della retta su cui giace il lato. Se quest'ultimo è m_s, avremo

    m=-\frac{1}{m_s}

    → In questo modo troviamo le rette dei tre assi. Mettendole a sistema trovi un unico punto di intersezione, che è proprio il circocentro del triangolo.

    Come calcolare le coordinate del circocentro di un triangolo rettangolo

    Come ho scritto il precedente procedimento si applica ad un triangolo qualsiasi. Nel caso di un triangolo rettangolo però il circocentro coincide con il punto medio dell'ipotenusa, quindi per determinarlo ti basta considerare le coordinate dei vertici dell'ipotenusa e calcolare le coordinate del punto medio, con le formule

    (x_C,y_C)=\left(\frac{x_i+x_i}{2},\frac{y_i+y_i}{2}\right)

    ed è tutto!

    Per concludere ti rimando al tool per disegnare nel piano cartesiano online, che potrebbe tornarti utile per verificare i risultati dei tuoi esercizi. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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