Soluzioni
  • Sinceramente peppe... Non si capisce nulla... Impara il latex, altrimenti perdiamo la vista :(

    Risposta di Ifrit
  • al denominatore ho 

    n! (e^(1/n^2)+2 cos(1/n)-3)+3 n^7

     

    Risposta di peppe30
  • mentre al numeratote 

    n! sin^4(1/n)+2 n^7

     

    Risposta di peppe30
  • il limite è per n->infinito

    ti ringrazio in anticipo

     

    Risposta di peppe30
  • Ok, quindi il limite è:

    \lim_{n\to +\infty}\frac{n!\sin^4\left(\frac{1}{n}\right)+2 n^7}{n! \left(e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos\left(\frac{1}{n}\right)-3\right)+3n^7}

     

    ? O_o 

    Ma chi li costruisce? Belzebù?? O_O

    Risposta di Ifrit
  • Cominciamo con il numeratore:

    \sin^4 \frac{1}{n}\sim_{\infty} \frac{1}{n^4}

     

    Al denominatore invece:

    e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos(1/n)-3

    Sviluppiamo 

    e^{\frac{1}{n^2}}=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2 n^4}+o(1/n^4)

    \cos(1/n)= 1-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{24 n^4}+o(1/n^4)

    Dunque:

    e^{\frac{1}{n^2}}+2\cos(1/n)-3 = \frac{7}{12 n^4}+o(1/n^4)

     

    Sostituendo nel limite:

    lim_{nto +infty}frac{n!sin^4left(frac{1}{n}right)+2 n^7}{n! left(e^{frac{1}{n^2}}+2cosleft(frac{1}{n}right)-3right)+3n^7}

    diventa:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{n! }{n^4}+2 n^7}{\frac{7 n! }{12 n^4}+3n^7 }

    mettiamo in evidenza n!, essendo esso la funzione che diverge più velocemente:

    \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n!}\cdot\frac{\frac{1 }{n^4}+2 \frac{n^7}{n!}}{\frac{7 }{12 n^4}+3\frac{n^7}{n!} }

    Semplifica n!

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1 }{n^4}+2 \frac{n^7}{n!}}{\frac{7 }{12 n^4}+3\frac{n^7}{n!} }

    Tutti i termini che hanno il fattoriale al denominatore vanno a 0.

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1 }{n^4}}{\frac{7 }{12 n^4} }

    Semplifica n^4

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1 }{n^4}}{\frac{7 }{12 n^4} }= \frac{12}{7}

     

    Fine :D

    Risposta di Ifrit
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