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Problemi di memoria?

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Soluzioni
  • Buongiorno Povi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Partiamo dal presupposto che, delle due applicazioni che proponi, che sono del tipo

    f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}

    solamente la prima è lineare. Vediamo di capire perché.

    Affinchè una applicazione possa definirsi linerare deve soddisfare il requisito di linearità, vale a dire

    1) Linearità per sommazione: per ogni x,y\in\mathbb{R}^3 (o, più in generale, nell'insieme di definizione) deve valere

    f(x+y)=f(x)+f(y)

    2) Linearità per prodotto per uno scalare, detta anche omogeneità: per ogni x\in\mathbb{R}^3 e per ogni scalare a\in\mathbb{R}

    f(ax)=af(x)

    dovrebbe allora essere una passeggiata vedere che la prima funzione soddisfa entrambi i requisiti, ma non la seconda. Infatti, ad esempio, dati due vettori (x,y,z)\mbox{ e }(x',y',z') abbiamo che

    f_2((x,y,z)+(x',y',z'))=f_2((x+x',y+y',z+z'))=x+x'+3(y+y')(z+z')\neq f_2((x,y,z))+f_2((x',y',z'))=x+3yz+x'+3(y'z')

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Quindi f(x1 +3x3)=f(x1)+ f(3x3)=f(x1)+ 3f(x3)?

    Però ancora nn capisco la seconda...

    Risposta di povi
  • Ti faccio io una domanda: perché cerchi di valutare la funzione f_1 sull'immagine e non su una terna di vettori reali?

    Risposta di Omega
  • Non so ho solo cercato di seguire la definizione di applicazione lineare.

    Risposta di povi
  • Ok, ma non è così che funziona. :(

    Tenendo traccia della definizione della funzione f_1 che ti viene assegnata nell'esercizio, devi solo notare che

    f_1((x,y,z)+(x',y',z'))=f_1((x+x',y+y',z+z'))=(x+x')+3(z+z')=x+3z+x'+3z'=f_1((x,y,z))+f_1((x',y',z'))

    Allo stesso modo provi che vale

    f_1(a(x,y,z))=af_1((x,y,z))

    Il discorso è molto semplice anche se non lo sembra. Ti consiglio di dare un'occhiata alla lezione sulla definizione di applicazione lineare ;)

    Risposta di Omega
  • si fino e qui va bene

    Risposta di povi
  • Problema risolto

    Ok, ciò prova che l'applicazione f_1 è lineare. Il ragionamento di cui sopra non è applicabile nel caso della funzione f_2, come ti ho già mostrato (non ottieni l'uguaglianza richiesta dalla linearità per sommazione neanche a piangere in cinese, né in russo). Quindi l'esercizio si conclude lì: basta che non sia soddisfatta une delle due condizioni richieste per dire che l'applicazione non è lineare.

    Namasté!

    Risposta di Omega

 

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