Soluzioni
  • L'esercizio è piuttosto carino perché può essere risolto meccanicamente con un po' di calcoli, ma con la giusta intuizione possiamo arrivare al risultato velocemente.

    Abbiamo la funzione

    f(x)=1-\frac{e^x}{x^2}

    che ha come dominio Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty).

    Dalla teoria sappiamo che f:Dom(f)\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione invertibile se e solo se è una funzione biunivoca dal dominio al codominio.

    Per rispondere alla domanda dobbiamo quindi stabilire se la funzione in esame è iniettiva e suriettiva.

    Cominciamo cercando di stabilire se f:Dom(f)\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è una funzione iniettiva.

    Dalla teoria sappiamo che disponiamo essenzialmente di due metodi per la verifica: il metodo algebrico ed il metodo grafico.

    La tentazione di procedere con il metodo algebrico è forte, dunque proviamo: f è iniettiva per definizione se, presi x_1,x_2\in Dom(f) e supponendo che f(x_1)=f(x_2), risulta che x_1=x_2.

    Impostiamo quindi l'equazione f(x_1)=f(x_2)

    1-\frac{e_1^x}{x_1^2}=1-\frac{e_2^x}{x_2^2}

    Se risolvendo l'equazione risulta che x_1=x_2 è l'unica soluzione, allora la funzione è iniettiva. In caso contrario, se esistono altre soluzioni oltre a x_1=x_2, allora essa non è iniettiva.

    Il grosso problema qui è che l'equazione appena scritta non può essere risolta algebricamente, dunque il metodo algebrico non fornisce una strada praticabile.

    Viriamo sul metodo grafico: f è iniettiva se e solo se il suo grafico è intersecato al massimo una volta da ognuna delle rette orizzontali della forma y=k\in\mathbb{R}.

    Ok, possiamo effettuare uno studio di funzione completo, ricavare il grafico della funzione e trarre le dovute conclusioni...

    Ma è veramente necessario fare tutta quella fatica?

    Se abbiamo un buon occhio, possiamo notare che la funzione presenta in x=0 un asintoto verticale. Studiamone il comportamento nell'intorno del punto x=0

    \\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(1-\frac{e^x}{x^2}\right)=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(1-\frac{e^x}{x^2}\right)=-\infty\\ \\ \\

    dove entrambi i limiti sono stati calcolati con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.

    Abbiamo finito! Poiché la funzione diverge a -infinito nell'intorno di x=0 siamo certi che esisterà almeno una retta orizzontale y=k<0 tale da intersecare il grafico in due punti. E se non ti fidi, guarda tu stessa :P

    Grafico di una funzione non invertibile

    Osservazioni finali:

    - ovviamente l'esercizio termina qui. Non è necessario stabilire se f sia una funzione suriettiva, perché sappiamo già che essa non è iniettiva e dunque non è invertibile.

    - in realtà quello che abbiamo utilizzato è proprio il metodo grafico, ma ridotto all'osso. A volte capita, come in questo caso, di poter dedurre informazioni di natura grafica limitando al massimo le informazioni richieste per lo studio di funzione; in generale comunque dobbiamo essere pronti all'idea di effettuare uno studio completo... :(

    Risposta di Omega
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