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Problemi di memoria?

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Soluzioni
  • Devi stabilire se la funzione è iniettiva e suriettiva su tutto il suo dominio.

    Ti raccomando di leggere almeno una volta queste lezioni:

    - come stabilire se una funzione è iniettiva;

    - come stabilire se una funzione è suriettiva;

    funzione è invertibile;

    - come calcolare la funzione inversa.

    Se dopo averle lette avrai ancora dei dubbi, chiedi pure. Nota che le prime tre lezioni linkate sono sì propedeutiche per la quarta, ma sono importanti a prescindere da essa!

    Risposta di Alpha
  • si, ho letto la lezione ma non capisco come applicare i termini generici x1 e x2 presenti lì alla mia funzione. Puoi darmi una mano? Ti ringrazio già d'adesso.

    Risposta di mery
  • In questo caso, se hai già determinato il grafico della funzione, puoi usare il metodo grafico e tracciare rette orizzontali. Se esiste anche solo una retta che interseca il grafico della funzione in due punti, allora la funzione non è iniettiva e dunque non è invertibile nel suo dominio naturale.

    Puoi, anche senza disporre del grafico della funzione, osservare che in corrispondenza del punto x=0 (in cui la funzione non è definita) hai un asintoto verticale, per il quale risulta che

    \lim_{x\to 0^-}{f(x)}=-\infty

    \lim_{x\to 0^+}{f(x)}=-\infty

    Quindi esiste sicuramente un valore di ordinata y (e quindi infiniti: tutti i valori più piccoli di esso) che ha due preimmagini distinte, cioè due valori x_{1,2} tali che

    f(x_1)=f(x_2)

    La funzione dunque non è invertibile nel suo dominio naturale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusami ma non ho capito,potresti farmi qualche esempio?

    Risposta di mery
  • Che cosa non hai capito? L'esempio è la funzione stessa.

    SE hai presente cosa significa l'iniettività, cioè che ad ogni y dell'immagine della funzione deve corrispondere una sola x del dominio secondo la corrispondenza data da f

    y=f(x)

    SE hai presente che nel grafico di una funzione le y sono le immagini delle x attraverso la funzione stessa;

    SE hai presente che una funzione che non è iniettiva non è invertibile;

    ALLORA non dovrebbe essere difficile comprendere che, appena trovi una retta orizzontale che interseca il grafico della funzione in due punti, ciò significa che hai due ascisse x1,x2 che hanno come immagine l'ordinata che individua la retta.

    Ergo: la funzione non può essere iniettiva, ergo non può essere invertibile.

    Nel nostro caso, la funzione tende a meno infinito a sinistra e a destra di x=0: in tutti i punti prossimi a x=0 la funzione ha due preimmagini per ogni ordinata y , non una sola.

    Ergo: non è iniettiva. Ergo: non è invertibile.

    Risposta di Omega
  • ok, in questo caso ho capito.

    Ma in genere se io non ho il grafico, come vedo se è invertibile?, basta calcolare l'asintoto sinistro e destro?( il fatto è che ne capisco poco........)

    Risposta di mery
  • In generale, senza metodo grafico e senza grafico, gli asintoti non c'entrano. In questo caso particolare si adattavano bene per applicare il metodo grafico.

    In generale, se l'espressione analitica della funzione non è troppo complicata, puoi imporre l'equazione

    f(x_1)=f(x_2)

    Se, facendo i conti, l'equazione diventa

    x_1=x_2

    allora la funzione è iniettiva. In tutti gli altri casi, la funzione non è iniettiva.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti farmi degli esempi su come faccio ad imporre f(x1)=f(x2).

    Gli esercizi proposti non hanno lo svolgimento su come fare.

    Risposta di mery
  • Un esempio in cui hai l'iniettività:

    f(x)=4x+1

    Imponiamo

    4x_1+1=4x_2+1

    da cui segue

    x_1=x_2

    Un esempio in cui non hai l'iniettività:

    f(x)=4x^2+1

    Imponiamo

    4x^2_1+1=4x^2_2+1

    da cui segue

    x_1=\pm x_2

    dopo aver estratto le radici quadrate.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • nelle due funzione date non capisco come e perchè x1 e x2 sono uguali

    Risposta di mery
  • Problema risolto

    Una funzione è iniettiva se e solo se l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2)

    implica

    x_1=x_2

    Ora consideriamo una retta, ok?

    y=2x+1

    Si può anche scrivere

    f(x)=2x+1

    Ora scegliamo due ascisse a caso, chiamiamole x1 e x2. Supponiamo che f(x1)=f(x2). Se la funzione è iniettiva, per quanto detto prima, dovremmo arrivare alla conclusione che x1 è uguale a x2.

    Proviamo a scrivere esplicitamente f(x1) e f(x2):

    f(x_1)=2x_1+1

    e

    f(x_2)=2x_2+1

    Abbiamo detto che supponiamo che siano uguali, ora, dire che

    f(x_1)=f(x_2)

    è esattamente come dire che

    2x_1+1=2x_2+1

    Questa è un'equazione normalissima, usiamo i soliti passaggi per arrivare a dire che x1 è uguale a x2. Tanto per cominciare portiamo l'1 a destra dell'uguale a sinistra, otteniamo

    2x_1+1-1=2x_2

    1-1=0, dunque

    2x_1=2x_2

    dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2, otteniamo

    \frac{2x_1}{2}=\frac{2x_2}{2}

    cioè

    x_1=x_2

    Siamo arrivati a dire che x1=x2, cioè proprio quello che volevamo provare, la funzione è iniettiva!

    Risposta di Alpha

 

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