10 tranelli delle disequazioni

Trucchi e tranelli delle disequazioni

Ci sono diverse bucce di banana che mettono (incredibilmente!) in crisi parecchi studenti quando si tratta di risolvere le disequazioni.

 

Abbiamo scritto incredibilmente perché, a parte il naturale stress che induce in errore nel corso di verifiche ed esami, si tratta di una serie di tranelli semplici da evitare con la giusta dose di lucidità e attenzione... 

 

 

Premessa fondamentale: questo articolo non è e nemmeno vuole essere una guida definitiva per la risoluzione delle disequazioni; vuole piuttosto essere un divertissement per studenti e appassionati, addetti e non addetti ai lavori. Volendo, anche un punto di partenza per la raccolta delle vostre impressioni e dei tranelli non menzionati qui di seguito. ;) 

 

Per tutto il resto abbiamo già dedicato un intero corso ai metodi di risoluzione delle disequazioni (quello del precedente link), quindi casomai doveste avere improvvise perdite di memoria o voleste fare un bel ripasso, vi basta un click.

 

10 tranelli ricorrenti nella risoluzione delle disequazioni

 

 

1) Le disequazioni senza incognite - panico generale.

 

A volte capita di osservare le più curiose reazioni emotive quando gli studenti si imbattono in una disequzione del tipo

 

-5<0

 

Niente paura. Ad una disequazione senza incognita corrisponde sempre una risposta immediata, che dipende dal simbolo della disequazione e dal segno del numero presente al membro di sinistra.

 

Domandiamoci: quali valori dell'incognita x risolvono la precedente disequazione? Dato che -5 è un numero negativo ed in quanto tale è minore di zero a prescindere da x, la risposta sarà

 

-5<0\ \to\ \mbox{per ogni }x

 

Negli altri casi dovremo regolarci a seconda del segno del numero (negativo, nullo, positivo) e del simbolo di disequazione (minore, minore o uguale, maggiore, maggiore o uguale).

 

 

2) Condizioni di esistenza: sempre e subito!

 

Dai, diciamoci la verità: è capitato a tutti, almeno una volta nella vita, di scordarsi delle condizioni di esistenza delle soluzioni, e conseguentemente di vanificare l'intera risoluzione di una disequazione.

 

Molto male! Quando compaiono loschi figuri quali, a titolo esemplificativo ma non esaustivo, rapporti con incognita nel denominatore, logaritmi, radicali con indici pari e amenità simili... Le condizioni di esistenza prima di tutto.

 

Dopo aver imposto le CE passeremo alla risoluzione della disequazione, infine confronteremo le soluzioni ottenute con le CE e ne ricaveremo le effettive soluzioni.

 

 

3) Inversione del simbolo di disequazione

 

Ogni volta che moltiplichiamo i due membri di una disequazione per un numero negativo, a prescindere dal motivo per cui lo facciamo, ricordiamoci sempre di invertire il simbolo.

 

Ad esempio, se consideriamo

 

-x^3+x\geq 0

 

e decidiamo di moltiplicare entrambi i membri per -1, dovremo scrivere

 

+x^3-x\leq 0

 

 

4) Moltiplicare/dividere entrambi i membri per termini contenenti l'incognita.

 

Eeeeee...no! Non si può fare: non possiamo moltiplicare né dividere i due membri di una disequazione per un termine che contenga l'incognita***. A differenza del caso delle equazioni, nelle disequazioni non è consentito moltiplicare per un termine di segno variabile, pena il crollo dell'intero impianto risolutivo.

 

***L'unico caso in cui è consentito è quello di un termine contenente l'incognita ma di segno non variabile, ad esempio in

 

\frac{x^2+1}{x}>x^2+1

 

possiamo dividere per x^2+1 perché si tratta di un termine positivo per ogni valore di x, quindi possiamo passare senza troppi fronzoli a

 

\frac{1}{x}>1

 

 

5) Le fake disequazioni di II grado

 

C'è un particolare tipo di disequazioni di secondo grado che non ammette alcun tipo di calcolo. Sarà per questo motivo che si tramutano spesso e volentieri in ostacoli insuperabili...? :)

 

Stiamo parlando delle disequazioni della forma

 

x^2+c>0\ \ \mbox{ con }c\mbox{ un numero positivo}

 

e qui se ne vedono veramente delle belle. Non ci sono conti né considerazioni geometriche da fare: basta osservare che x^2, in quanto potenza con elevamento al quadrato, è un numero positivo o alla peggio nullo (se e solo se x=0). Dato che c per ipotesi è un numero positivo, concludiamo subito che la somma di un numero non negativo e di un numero positivo deve essere un numero positivo.

 

Vale a dire: \forall x\in\mathbb{R}.

 

 

6) Lo scambio di persona - o meglio dei grafici

 

Perché a volte capita di impostare il grafico tipico dei sistemi di disequazioni nel caso delle disequazioni fratte e, viceversa, di impostare il grafico delle disequazioni fratte per un sistema. Originale, non trovate?

 

Eppure si tratta di grafici ben distinti: per un sistema dobbiamo tenere conto delle intersezioni delle soluzioni (linee piene, linee vuote), mentre per una disequazione fratta dobbiamo confrontare i segni del numeratore e del denominatore (linee piene +, linee tratteggiate -).

 

 

7) Preferire il segno + nelle disequazioni di II grado

 

Più che un tranello, è un consiglio: quando risolviamo una disequazione di secondo grado facciamo in modo di avere il coefficiente del termine quadratico (il coefficiente di x^2) con segno positivo. Ad esempio:

 

\\ -x^2+3x-2\geq 0\\ \\ \to\ x^2-3x+2\leq 0\\ \\ \to\ (x-2)(x-1)\leq 0\\ \\ \to\ 1\leq x\leq 2

 

In questo modo eviteremo di confonderci con gli intervalli da prendere in considerazione. ;)

 

 

8) Disequazioni fratte? Vale l'ultimo passaggio!

 

Uuuuhm, mistero? In realtà no: quando risolviamo una disequazione fratta, in genere facciamo un tot di calcoli di semplificazione

 

\mbox{Un rapporto}\ \ \mbox{simbolo}\ \ \mbox{un altro rapporto}

 

e cerchiamo di portarla nella forma

 

\mbox{Rapporto}\ \ \mbox{simbolo}\ \ 0\ \ \ (\bullet)

 

dopodiché passiamo a studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore, per poi confrontarli in un grafico dei segni e dedurre il segno del rapporto sui vari intervalli.

 

Ok: quando alla fine dobbiamo ricavare le soluzioni dal segno del rapporto, dobbiamo far fede al simbolo presente in (\bullet), cioè al simbolo dell'ultimo passaggio di semplificazione!

 

Ad esempio

 

-\frac{x+1}{x}\leq 2

 

Semplifichiamo

 

\\ \frac{x+1}{x}\geq -2\\ \\ \\ \frac{x+1}{x}+ 2\geq 0\ \to\ \frac{x+1+2x}{x}\geq 0

 

da cui

 

\frac{3x+1}{x}\geq 0\ \ (\bullet)

 

Perfetto! Nello studio dei segni dovremo considerare le x che rendono il rapporto maggiore o uguale a zero, come richiesto nell'ultimo passaggio (\bullet), e non quelle che lo rendono minore o uguale a zero (come richiesto nel passaggio iniziale).

 

 

9) La base che non ti aspetti

 

Un altro classico: dimenticare di invertire il simbolo di disequazione quando si risolvono le disequazioni logaritmiche e le disequazioni esponenziali con basi minori di 1.

 

Esempi elementari:

 

\\ \left(\frac{1}{2}\right)^x>3\ \to\ x<\log_{\frac{1}{2}}(3)\\ \\ \\ \log_{\frac{4}{7}}(x)\leq 0\ \to\ x\geq \left(\frac{4}{7}\right)^0=1

 

 

10) Estendere le soluzioni per periodicità

 

Tipico delle disequazioni goniometriche, non servono particolari commenti: si comincia con le migliori intenzioni e si decide (giustamente) di ridursi a risolvere la disequazione su un intervallo di periodicità, ad esempio

 

\sin(x)>\frac{1}{2}\ \mbox{ la risolvo su }0\leq x\leq 2\pi

 

per poi estendere le soluzioni all'intero asse reale. Poi però, presi dalla foga del momento, ci si dimentica di effettuare l'estensione, lasciando la risoluzione alla stregua di un'opera incompiuta.

 

\sin(x)>\frac{1}{2}\ \to\ \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}

 

Un piccolo passo in più...

 

\sin(x)>\frac{1}{2}\ \to\ \frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\mbox{ al variare di }k\in\mathbb{Z}

 

 


 

In conclusione: occhio alle bucce di banana, si rischiano pessimi scivoloni!

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

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