10 trucchi imperdibili in Matematica

Idea Matematica

È capitato a tutti, almeno una volta, di risolvere un esercizio di Matematica e di non riuscire a portarlo a termine: intuizione non pervenuta.

 

A seconda del livello del corso di studio gli esercizi che affrontiamo possono essere standard (scuole superiori) o più imprevedibili (liceo). Naturalmente non è possibile scrivere una scaletta che salvi la vita dello studente in qualsiasi circostanza...

 

C'è però una serie di barbatrucchi che si rivelano di fondamentale importanza ad ogni livello: ne abbiamo selezionati alcuni e abbiamo scritto una lista di trucchi fondamentali in Matematica, sia nella risoluzione di esercizi che nelle dimostrazioni dei teoremi...

 

I dieci trucchi da ricordare quando si fa Matematica

 

 

1) Verificare i risultati ottenuti

 

Che c'è di meglio di poter avere la certezza di aver svolto correttamente un esercizio? Se sei nelle condizioni di poterlo fare verifica sempre i risultati e le soluzioni dei tuoi svolgimenti. :)

 

Ad esempio se hai risolto un'equazione puoi verificare la validità delle soluzioni per sostituzione al posto dell'incognita. Hai risolto l'equazione

 

x^2+2x+1=0

 

e hai trovato x=+5 come risultato? Sarà giusto?

 

(+5)^2+2(+5)+1=25+10+1=36

 

mmmh...no! O magari hai fatto uno studio di funzione, in tal caso puoi controllare che i vari risultati siano coerenti tra loro. Puoi avere f(x) positiva per x>0 e

 

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\mbox{numero negativo} ?

 

Non credo proprio. ;)

 

 

2) Dividi e conquista

 

Scomponi l'esercizio/dimostrazione/ragionamento nei passaggi più elementari possibili e tieni sempre presente qual è il filo conduttore dell'insieme di passaggi. Comportati come se dovessi costruire una casetta con i Lego: prima ti fai un'idea di come procedere, poi procedi per passi, un passo alla volta. Ne parlavo giusto oggi con un amico del Forum nello svolgimento di una esercizio di derivazione.

 

Se ad ogni passo resti concentrato solo e solamente su quello che stai facendo, riduci al minimo le possibilità di sbagliare e di confonderti.

 

 

3) Il trucco della Nonna - abbandonare l'esercizio

 

Libera la mente e dimenticati completamente dell'esercizio. Dedicati ad altro. Intestardirsi troppo è controproducente: se cerchi di scavalcare un ostacolo, più tenti, più ti affatichi. Meglio fermarsi un po', recuperare e ritentare nel seguito.

 

A differenza di quel che si possa pensare si tratta di un trucco applicabile anche in sede di esame. Nulla vieta di passare ad altri esercizi o dimostrazioni e di tornare successivamente al problema irrisolto. ;)

 

 

4) Regole mnemoniche

 

Ehi, professore alla lettura, abbassa la pistola e fammi spiegare. ;) Sappiamo tutti che imparare a memoria non è un buon modo di studiare in Matematica. Ciò che conta è capire. Però bisogna guardare in faccia la realtà: in certi casi la memoria può aiutare e dare la spinta iniziale per percorrere la strada del vero apprendimento. Memoria come inizio e non come arrivo.

 

Con questa premessa ci si può sbizzarrire e avvicinarsi a certi esercizi con i metodi più disparati. Al Liceo ne avevamo uno per le formule di addizione e sottrazione degli archi:

 

"due coppie di file, + + - -, sen cos cos sen per il seno, cos cos sen sen per il coseno".

 

Lascio a voi l'interpretazione a posteriori della filastrocca.

 

 

5) La somma di un quadrato e di un numero positivo è un numero positivo

 

x^2+\mbox{numero positivo}>0\ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

 

Permette di evitare conti inutili e figuracce, soprattutto nella risoluzione delle disequazioni e nel calcolo del dominio di funzioni.

 

Come si giustifica? Molto semplicemente. il quadrato di un numero, vale a dire x^2, è una quantità positiva o alla peggio uguale a zero (succede solo se x=0). Se sommiamo una quantità che minimo minimo vale zero ad un numero positvo, avremo sempre e comunque un numero positivo.

 

 

6) Criteri di divisibilità

 

Chi non ha mai usato almeno 100 volte il criterio di divisibilità per 3?  Se la somma delle cifre che compongono un numero è divisibile per 3, allora il numero è divisibile per tre.

 

Così facendo, ad esempio, possiamo rispondere velocemente a chi ci chiede: 123456789 è divisibile per tre? Certo, perché la somma delle cifre che lo compongono è 45, che è divisibile per 3.

 

Tutti sicuramente conosceranno i criteri di divisibilità per 2 e per 5: un numero è divisibile per 2 se l'ultima cifra che lo compone (a destra) è pari; un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra che lo compone (a destra) è 0 oppure 5.

 

Ci sono molti altri criteri di divisibilità: ricordatevi sempre che esistono e che funzionano.

 

 

7) Moltiplica e dividi [Primo trucco algebrico fondamentale]

 

Il principio è molto semplice: se moltiplico e divido per una stessa quantità, sto moltiplicando per 1. Posso moltiplicare e dividere per la stessa quantità purché tale quantità abbia senso nel contesto in cui lavoro.

 

In termini teorici non stiamo cambiando nulla; nella pratica questo trucco ci consente di passare ad una forma più comoda dal punto di vista dei calcoli.

 

È un trucco di una semplicità e di una forza eccezionale e trova applicazioni in ogni branca della Matematica: esercizi di Trigonometria, esercizi di Analisi Matematica, dimostrazioni di Analisi Funzionale...

 

Il primo esempio che mi viene in mente: il trucco si rivela utilissimo quando si calcolano le derivate fondamentali con la definizione, giusto per citarne una la derivata del valore assoluto.

 

 

8) Somma e sottrai [Secondo trucco algebrico fondamentale]

 

È il cugino del moltiplica-e-dividi. Se sommo e sottraggo una stessa quantità, sto sommando 0. Teoricamente non cambia nulla, praticamente le cose possono cambiare parecchio!

 

Valgono osservazioni del tutto analoghe rispetto al trucco precedente. Il somma-e-sottrai è un evergreen e trova felicissime applicazioni ad ogni livello. Un esempio? Negli esercizi sugli integrali, come nel seguente calcolo

 

\int{\frac{x}{x+1}dx}=\int{\frac{x+1-1}{x+1}dx}=\int{\left[\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right]dx}=

 

=\int{1dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}=x-\log{|x+1|}+c

 

Il pro del trucco: sblocca situazioni potenzialmente rognose e riduce il numero di calcoli.

 

Il contro: può richiedere molta fantasia, anche se una buona dose di allenamento permette di sviluppare il cosiddetto occhio clinico.

 

 

9) L'identità salvavita

 

Vale a dire la relazione tra logaritmo ed esponenziale: se y>0 si può scrivere


y=e^{\log{(y)}}

 

Si tratta di un'identità utilissima, perché ci permette di uscire da brutte situazioni e riscrivere una funzione o un'espressione in una forma più semplice da elaborare. Trova applicazione ad esempio nei limiti con forma indeterminata [1^{\infty}] (vedi metodi di risoluzione per forme di indecisione), o nel calcolo di certe derivate, come nel caso della derivata di x^x.

 

 

10) Trucchi per le dimostrazioni: dimostrazioni per assurdo, per induzione, funzioni ausiliarie

 

Anche in questo contesto vale quel che ho scritto all'inizio. Non è possibile stilare una guida con tutti i metodi per fare le dimostrazioni. Ci tenevo comunque a ricordare tre metodi molto diffusi e molto utili:

 

- dimostrare una tesi per assurdo (metodo che vale la pena di tentare in assenza di idee costruttive);

 

- principio di induzione (fortunatamente i casi in cui va applicato si riconoscono subito);

 

- uso di funzioni ausiliarie (metodo molto in voga nelle dimostrazioni di Analisi: un esempio).

 

 

Con questo è tutto! Se avete qualche altra idea non esitate, potete condividerla con tutta la community di YouMath nel Forum. :)

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

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